高中数学 第一章 集合与函数概念 第3节 函数的基本性质（2）教案 新人教A版必修1.doc

第一章第三节函数的基本性质第二课时教学目标1知识与技能(1)使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用(2)启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题2过程与方法(1)通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育(2)探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确3情感、态度与价值观理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等现象重点难点教学重点：函数最大(小)值的定义和求法教学难点：如何求一个具体函数的最值导入新课思路1.某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址，新厂址的长为x m，则宽为 m，所建围墙y m，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y 最短？学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y2(x)，x0的最小值引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？f(x)x3；f(x)x3，x1,2；f(x)x22x1；f(x)x22x1，x2,2学生回答后，教师引出课题：函数的最值推进新课(1)如图4所示是函数yx22x、y2x1，x1，)、yf(x)的图象观察这三个图象的共同特征图4(2)函数图象上任意点p(x，y)的坐标与函数有什么关系？(3)你是怎样理解函数图象最高点的？(4)问题(1)中，在函数yf(x)的图象上任取一点a(x，y)，如图5所示，设点c的坐标为(x0，y0)，谁能用数学符号解释：函数yf(x)的图象有最高点c?图5(5)在数学中，形如问题(1)中函数yf(x)的图象上最高点c的纵坐标就称为函数yf(x)的最大值谁能给出函数最大值的定义？(6)函数最大值的定义中f(x)m即f(x)f(x0)，这个不等式反映了函数yf(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？(7)函数最大值的几何意义是什么？(8)函数y2x1，x(1，)有最大值吗？为什么？(9)点(1,3)是不是函数y2x1，x(1，)的最高点？(10)由问题(9)你发现了什么值得注意的地方？讨论结果：(1)函数yx22x的图象有最高点a，函数y2x1，x1，)的图象有最高点b，函数yf(x)的图象有最高点c.也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点(2)函数图象上任意点p的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值(4)由于点c是函数yf(x)图象上的最高点，则点a在点c的下方，即对定义域内任意x，都有yy0，即f(x)f(x0)，也就是对函数yf(x)的定义域内任意x，均有f(x)f(x0)成立(5)一般地，设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：对于任意的xi，都有f(x)m；存在x0i，使得f(x0)m.那么，称m是函数yf(x)的最大值(6)f(x)m反映了函数yf(x)的所有函数值不大于实数m；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是m.(7)函数图象上最高点的纵坐标(8)函数y2x1，x(1，)没有最大值，因为函数y2x1，x(1，)的图象没有最高点(9)不是，因为该函数的定义域中没有1.(10)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点(1)类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.(2)类比上面问题(9)，你认为讨论函数最小值应注意什么？活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义最高点类比最低点，不等号“”类比不等号“”函数的最大值和最小值统称为函数的最值讨论结果：(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：对于任意的xi，都有f(x)m；存在x0i，使得f(x0)m.那么，称m是函数yf(x)的最小值函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点例1 求函数y在区间2,6上的最大值和最小值活动：先思考或讨论，再到黑板上书写当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值利用变换法画出函数y的图象，只取在区间2,6上的部分观察可得函数的图象是上升的解：设2x1x26，则有f(x1)f(x2).2x10，(x11)(x21)0.f(x1)f(x2)，即函数y在区间2,6上是减函数当x2时，函数y在区间2,6上取得最大值f(2)2；当x6时，函数y在区间2,6上取得最小值f(6).变式训练1求函数yx22x(x3,2)的最大值和最小值解：最大值是f(3)15，最小值是f(1)1.2函数f(x)x42x21的最小值是_解析：(换元法)转化为求二次函数的最小值设x2t，yt22t1(t0)，又当t0时，函数yt22t1是增函数，则当t0时，函数yt22t1(t0)取最小值1.所以函数f(x)x42x21的最小值是1.答案：13画出函数yx22|x|3的图象，指出函数的单调区间和最大值 分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间解：函数图象如图6所示图6由图象得，函数的图象在区间(，1)和0,1上是上升的，在1,0和(1，)上是下降的，最高点是(1,4)， 故函数在(，1)，0,1上是增函数；函数在1,0，(1，)上是减函数，最大值是4. 点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：如果函数yf(x)在区间(a，b上单调递增，在区间b，c)上单调递减，则函数yf(x)在xb处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间(a，b上单调递减，在区间b，c)上单调递增，则函数yf(x)在xb处有最小值f(b).例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错并对学生的板书及时评价将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)4.9t214.7t18取得最大值；“这时距地面的高度是多少(精确到1 m)”就是函数h(t)4.9t214.7t18的最大值；转化为求函数h(t)4.9t214.7t18的最大值及此时自变量t的值解：作出函数h(t)4.9t214.7t18的图象，如图7所示，图7显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度由二次函数的知识，对于函数h(t)4.9t214.7t18，我们有：当t1.5时，函数有最大值h29.即烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29 m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力解应用题的步骤是：审清题意读懂题；将实际问题转化为数学问题来解决；归纳结论注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合变式训练1把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()a. cm2b4 cm2c3 cm2d2 cm2 解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4x) cm，两个三角形的面积和为s，则sx2(4x)2(x2)222.当x2时，s取最小值2 cm2.故选d.答案：d2某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答利润(售价进价)销售量解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y(x8)60(x10)1010(x12)21610(x12)2160(10x16)，当且仅当x12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元.课本本节练习5.补充练习某厂2007年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与去年促销费m(万元)(m0)满足x3.已知2007年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2007年该产品的利润y万元表示为年促销费m(万元)的函数；(2)求2007年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？分析：(1)年利润销售价格年销售量固定投入促销费再投入，销售价格1.5每件产品平均成本；(2)利用单调法求函数的最大值解：(1)每件产品的成本为元，故2007年的利润为y1.5x(816xm)48xm48(3)m28m(万元)(m0)(2)可以证明当0m3时，函数y28m是增函数，当m3时，函数y28m是减函数，所以当m3时，函数y28m取最大值21万元问题：求函数y的最大值解：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图8所示，故图象最高点是(，)图8则函数y的最大值是.(方法二)函数的定义域是r，可以证明当x时，函数y是增函数；当x时，函数y是减函数则当x时，函数y取最大值，即函数y的最大值是.(方法三)函数的定义域是r，由y，得yx2yxy10.xr，关于x的方程yx2yxy10必有实数根当y0时，关于x的方程yx2yxy10无实数根，即y0不属于函数的值域当y0时，则关于x的方程yx2yxy10是一元二次方程，则有(y)24y(y1)0.0y.函数y的最大值是.点评：方法三称为判别式法，形如函数y(d0)，当函数的定义域是r(此时e24df0时，函数ykx的最大值为f(b)kb，最小值为f(a)ka；当k0)上存在最值，当k0时，函数y的最大值为f(a)，最小值为f(b)；当k0时，函数ykxb的最大值为f(n)knb，最小值为f(m)kmb；当k0时，函数yax2bxc在定义域r上有最小值f()，无最大值；当a0时，函数yax2bxc在定义域r上有最大值f()，无最小值二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值可能出现以下三种情况：(1)若p，则f(x)在区间p，q上是增函数，则f(x)minf(p)，f(x)maxf(q)(2)若pq，则f(x)minf()，此时f(x)的