高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数课时提升作业2 新人教A版选修11.doc

函数的最大(小)值与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=2x3-3x2-12x+5在-2,1上的最大值、最小值分别是()a.12,-8b.1,-8c.12,-15d.5,-16【解析】选a.y=6x2-6x-12,由y=0x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以ymax=12,ymin=-8.2.(2015聊城高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为()a.0a1b.0a1c.-1a1d.0a12【解析】选b.因为f(x)=x3-3ax-a,所以f(x)=3x2-3a,令f(x)=0,可得a=x2,又因为x(0,1),所以0a1.【补偿训练】函数f(x)=ex-x在区间-1,1上的最大值是()a.1+1eb.1c.e+1d.e-1【解析】选d.f(x)=ex-1.令f(x)=0,得x=0.当x-1,0时,f(x)0;当x0,1时,f(x)0.所以f(x)在-1,0上递减,在0,1上递增.又因为f(-1)=1e+1,f(1)=e-1,所以f(-1)-f(1)=2+1e-e0,所以f(-1)0恒成立,所以在(-,+)上单调递增,无极值,也无最值.4.函数f(x)=2x+1x,x(0,5的最小值为()a.2b.3c.174d.22+12【解析】选b.由f(x)=1x-1x2=x32-1x2=0,得x=1,且x(0,1)时,f(x)0,所以x=1时f(x)最小,最小值为f(1)=3.5.(2015大庆高二检测)若函数y=x3+32x2+m在-2,1上的最大值为92,则m等于()a.0b.1c.2d.52【解题指南】先求出函数y=x3+32x2+m在-2,1上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选c.y=x3+32x2+m=3x2+3x=3x(x+1).由y=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+12.f(1)=m+52,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+52最大.所以m+52=92.所以m=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=1x+1+x(x1,3)的值域为_.【解析】f(x)=-1(x+1)2+1=x2+2x(x+1)2,所以在1,3上f(x)0恒成立,即f(x)在1,3上单调递增,所以f(x)的最大值是f(3)=134,最小值是f(1)=32.故函数f(x)的值域为32,134.答案:32,1347.(2015盐城高二检测)若函数f(x)=x3-3x-a在区间0,3上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=_.【解析】因为f(x)=3x2-3,所以当x1或x0;当-1x1时,f(x)0.所以f(x)在0,1上单调递减,在1,3上单调递增.所以f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.又因为f(0)=-a,f(3)=18-a,所以f(0)16,所以f12f(2)0.所以f(x)在12,2上的最大值为f12=1-ln2,最小值为0.【补偿训练】已知f(x)=xlnx,求函数f(x)在t,t+2(t0)上的最小值.【解析】f(x)=lnx+1,令f(x)=0,得x=1e.当x0,1e时,f(x)0,f(x)单调递增.由于t0,所以t+21e.当0t1et+2时,即0t1e时,则在xt,1e上,f(x)递减;在x1e,t+2上,f(x)递增,f(x)min=f1e=-1e.当1ett+2,即t1e时,f(x)在t,t+2上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.综上所述,当0t0,所以-3x2+2ax-30恒成立,即3x+1x2a恒成立,62a,所以a3.(2)依题意f(3)=0即-332+2a3-33=0,解得a=5,此时f(x)=-3x2+10x-3x=-(x-3)(3x-1)x,易知x1,3时f(x)0,原函数递增,x3,5时,f(x)0,原函数递减;所以最大值为f(3)=332-3ln3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知函数y=-x2-2x+3在a,2上的最大值为154,则a等于()a.-32b.12c.-12d.-12或-32【解析】选c.y=-2x-2,令y=0,得x=-1.当a-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.当-1a2时,f(x)在a,2上单调递减,最大值为f(a)=-a2-2a+3=154,解得a=-12或a=-32(舍去).2.已知函数f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且f(x)g(x),则f(x)-g(x)的最大值为()a.f(a)-g(a)b.f(b)-g(b)c.f(a)-g(b)d.f(b)-g(a)【解析】选a.令u(x)=f(x)-g(x),则u(x)=f(x)-g(x)0得0x1,令f(x)0得x1,所以f(x)在(0,1上是增函数,在(1,e上是减函数.所以当x=1时,f(x)有最大值f(1)=-1.答案:-14.(2015福州高二检测)已知函数f(x)=ax2+2lnx,若当a0时,f(x)2恒成立,则实数a的取值范围是_.【解题指南】可先求出f(x)的最小值,使其最小值大于等于2,解不等式即可求出a的范围.【解析】由f(x)=ax2+2lnx,得f(x)=2(x2-a)x3,又函数f(x)的定义域为(0,+),且a0,令f(x)=0,得x=-a(舍去)或x=a.当0xa时,f(x)a时,f(x)0,故x=a是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f(a)=lna+1.要使f(x)2恒成立,需lna+12恒成立,则ae.答案:e,+)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015惠州高二检测)设函数f(x)=lnx-x+1,(1)求f(x)的单调区间.(2)求证:lnxx-1.【解析】(1)由已知得x(0,+),f(x)=1x-1,令f(x)0,得1x-10,解得0x1,所以f(x)在(0,1)上为增函数,令f(x)0,得1x-11,所以f(x)在(1,+)为减函数.(2)由(1)知:f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数.所以当x=1时,f(x)max=-1+1=0,对任意x(0,+)有f(x)0,即lnx-x+10,即lnxx-1.6.已知ar,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程.(2)若|a|1,求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=6x2-12x+6,所以f(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f(x)=0,得到x1=1,x2=a.当a1时,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af(x)+0-0+f(x)0单调递增极大值3a-1单调递减极小值a2(3-a)单调递增4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可