高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值学案 新人教B版选修11.doc

3.3.2利用导数研究函数的极值1了解函数的极值和最值的有关概念2会用函数的导数求函数的极值和最值1极值的概念已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有_，则称函数f(x)在_处取极大值，记作y极大值f(x0)，并把_称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有_，则称函数f(x)在_处取极小值，记作y极小值f(x0)，并把_称为函数f(x)的一个极小值点_与_统称为极值_与_统称为极值点(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其左右邻域都有意义(2)极值是一个局部概念，是相对某一点左右两侧邻域而言(3)极值总是函数f(x)定义域中的内点，因而端点绝对不是函数的极值点(4)函数f(x)在其定义域内的极值点可能不止一个，也可能没有函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的一个极小值不一定小于极大值【做一做1】在下图中x1是函数的极_值点，x2是函数的极_值点(填“大”或“小”)2求可导函数yf(x)极值的步骤(1)求_(2)求方程_的所有实数根(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，_的符号如何变化如果f(x)的符号_，则f(x0)是极大值；如果f(x)的符号_，则f(x0)是极小值；如果在f(x)0的根xx0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值极值点与导数为0的点的关系：(1)导数为0的点不一定是极值点如函数f(x)x3，在x0处的导数是0，但它不是极值点对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要不充分条件(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点如函数f(x)|x|，在x0处，左侧(x0时)，f(x)10，右侧(x0时)，f(x)10，当x0时，f(x)0，x0是f(x)的极小值点，但f(0)不存在【做一做2】方程f(x)0的根一定是函数f(x)的极值点吗？3求可导函数yf(x)在a，b的最大(小)值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内的_(2)计算函数f(x)在_和_的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是对函数局部的函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较(2)函数的极值不一定是最值，需要极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性(3)如果函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值【做一做3】函数的最大值一定是函数的极大值吗？1如何理解极值的概念？剖析：极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值(1)极值是一个局部概念由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或是最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域内，极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)f(x1)(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点处2导数为零的点一定是极值点吗？剖析：可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如f(x)x3在x0处的导数f(0)0，但x0不是它的极值点，也就是可导函数在点x0处的导数f(x0)0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件特别地，函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点题型一 求函数的极值【例1】求下列函数的极值：(1)yf(x)3x3x1；(2)f(x)x2ex.分析：首先对函数求导，求得f(x)然后求方程f(x)0的根，再检验方程根的左右两侧导数f(x)的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值反思：按照求函数极值的一般步骤求解即可解答此类问题时要注意f(x)0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件，如果再加上x0左右两侧导数值异号，方能判断函数在x0处取得极值解题时，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误题型二 求函数的最值【例2】(1)求函数f(x)x32x21在区间1,2内的最值(2)设函数f(x)ln xax(a0)若f(x)在(1,2上的最大值为，求a的值分析：(1)按照求最值的一般步骤求解即可(2)按照求最值的方法求其最大值，其最大值是关于a的表达式由题意知，最大值等于，解方程即可求得a.反思：(1)利用求函数最值的步骤求解此类问题(2)函数最大值点及最小值点必在下面各种点之中：导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点；若函数在区间a，b上连续且可导，则其最大值应在极大值点或区间端点处取得，最小值应在极小值点或区间端点处取得题型三 易错题型【例3】已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，求a，b的值错解：f(x)3x22axb.由题意得32ab0，1aba210，解得或错因分析：在x1处有极值10，则x1是f(x)0的根但f(x)0的根并不一定是极值点，故对求得的参数的值要进行验证是否满足在x1处有极值1函数yx2x1的极小值是()a1 b c d22函数yx33的极大值()a是0 b是1c是2 d不存在3函数yx(x0)在x1处取得()a极小值b极大值c既有极大值又有极小值d最大值4若a0，函数yx在(0，)的最小值为4，则a_.5已知函数f(x)x32ax2a2x在x1处有极大值，求a的值答案：基础知识梳理1f(x)f(x0)点x0x0f(x)f(x0)点x0x0极大值极小值极大值点极小值点【做一做1】大小2(1)导数f(x)(2)f(x)0(3)导函数f(x)由正变负由负变正【做一做2】不一定3(1)所有极值点(2)极值点端点【做一做3】不一定典型例题领悟【例1】解：y9x21，令y0，解得x1，x2.当x变化时，y和y的变化情况如下表：xy00y单调递增极大值单调递减极小值单调递增此，当x时，y有极大值，并且y极大值.而当x时，y有极小值，并且y极小值.(2)函数的定义域为r.f(x)2xexx2exexx(2x)，令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,0)0(0，)f(x)00f(x)极大值极小值0由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且f(0)0.当x2时，函数有极大值，且f(2).【例2】解：(1)f(x)3x24x，令f(x)0，有3x24x0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)02f(x)00f(x)211故f(x)x32x21在区间1,2上，f(x)最大值1，f(x)最小值2.(2)f(x)aa.当x(1,2时，f(x)0，f(x)在(1,2上单调递增故f(x)在(1,2上的最大值为f(2)ln 22a.由题意知ln 22a，a.【例3】正解：f(x)3x22axb.由题意得32ab0，1aba210，解得或当a3，b3时，f(x)3(x1)20，所以f(x)单调递增，不存在极值，故应舍去当a4，b11时，满足题意所以a4，b11.随堂练习巩固1b2d3a当0x1时，y10；当x1时，y10.故函数yx(x0)在x1处取极小值44y1.当x时，y10；当0x时，y10.故函数yx在x处取得极小值也是最小值2.由题意知24，解得a4.5