高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数 3.1.3 导数的几何意义学案 新人教B版选修11.doc

3.1.3导数的几何意义1了解导数概念的实际背景2知道瞬时变化率就是导数3通过函数图象直观地理解导数的几何意义1瞬时变化率设函数yf(x)在x0附近有定义，当自变量在xx0附近改变x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x_时，平均变化率趋近于一个_，则常数l称为函数f(x)在_的瞬时变化率用趋近于符号“”记作当x0时，l.这时，还可以说，当x0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的_记作“l”(1)运动的瞬时速度就是路程函数ys(t)的瞬时变化率(2)运动的瞬时加速度就是速度函数yv(t)的瞬时变化率【做一做11】函数f(x)x2在x1处的瞬时变化率为_【做一做12】一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则质点的初速度为_2某点处的导数函数在x0的瞬时变化率，通常就定义为f(x)在xx0处的导数，并记作f(x0)或y|xx0.于是可写作_f(x0)【做一做2】函数f(x)x2在x1处的导数为_3导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x处导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)内可导这样，对开区间(a，b)内_，都对应一个确定的导数f(x)，于是在区间(a，b)内f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的_记为f(x)(或yx、y)导函数通常简称为导数如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数函数f(x)在x0处可导，是指当x趋近于0时，趋近于某个常数(极限存在)，如果不趋近于某个常数(极限不存在)，就说函数在点x0处不可导，也说无导数【做一做3】函数f(x)x2的导函数(导数)为_4导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的_也就是说，曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率为f(x0)，相应的切线方程为yy0f(x0)(xx0)如果函数在x0处的导数不存在，则说明斜率不存在，此时切线方程为xx0.【做一做4】函数yx2在点(2,4)处的切线的斜率为_1如何求函数yf(x)在点x0处的导数？剖析：(1)求函数的改变量y；(2)求平均变化率；(3)取极限得导数f(x0).2“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联系？剖析：(1)函数在一点处的导数f(x0)是一个常数，不是变量(2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f(x)(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0)f(x)|xx0.3“x0”的意义剖析：x与0的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，但始终有x0.题型一 导数的定义【例1】已知函数yf(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值(1)；(2).分析：利用函数yf(x)在点x0处可导的条件，可将给定的极限式变形成导数定义的结构形式来解决问题导数定义中增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，y也应与之相对应反思：解决此类问题应将给定的极限形式恒等变形转化为导数定义的结构形式即可解决题型二 求导数【例2】已知函数y，求y，y|x1.分析：按求导数的步骤求解即可，但要注意变形的技巧反思：函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念，在点x0处的导数是函数的导数在xx0处的函数值分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧，要认真体会题型三 利用导数求曲线的切线方程【例3】求曲线y在点处的切线的斜率，并写出切线方程分析：利用导数的几何意义求斜率，然后用点斜式写出直线方程反思：(1)求函数在某点处的切线方程的一般步骤：求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；根据点斜式得切线方程yy0f(x0)(xx0)注意(x0，y0)为曲线上的点并且是切点(2)函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；反之不成立例如f(x)在点x0处有切线，但它不可导题型四 易错题型【例4】试求过点p(3,5)且与曲线yx2相切的直线的方程错解：函数yx2的导数为y2x，y|x3236.切线方程为y56(x3)，即y6x13.错因分析：没有注意到点p不在曲线上，点p不是切点，本题把点p当成了切点，从而导致错误反思：求曲线上在点p处的切线与过点p的切线有区别，在点p处的切线，点p必为切点；求过点p的切线，点p未必是切点，点p也不一定在已知曲线上应注意概念区别，其求解方法上也有所不同，要认真体会若点p在曲线上，要分点p是切点和不是切点两种情况解决1设函数f(x)可导，则等于()af(1) b2f(1)cf(1) df(2)2设函数f(x)可导，等于()a2f(x0) bf(x0)cf(x0) df(m)3函数f(x)在x1处的导数是_4函数yx2在点p(x0，y0)处的切线的斜率为2，则x0等于_5试求过点p(0，1)且与曲线yx23相切的直线方程答案：基础知识梳理1趋近于0常数l点x0瞬时变化率l【做一做11】2x2，当x0时，x22，故所求瞬时变化率为2.【做一做12】3质点的初速度即为s3tt2在t0处的瞬时变化率ss(0t)s(0)3(t)(t)2，则3t，当t0时，3t3，故质点的初速度为3.2【做一做2】2由做一做11及导数定义知所求导数为2.3每个值x导函数【做一做3】2x求函数f(x)x2的导数就是求其在其定义域内任一点x处的导数2xx，当x0时，2xx2x，故函数f(x)x2的导数为2x，即f(x)2x.上述过程用极限符号表示为：f(x)(2xx)2x.4切线的斜率【做一做4】4函数yx2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数yx2在x2处的导数因此其斜率k(x4)4.典型例题领悟【例1】解：(1)原式(x0时，x0)f(x0)(2)原式f(x0)f(x0)f(x0)【例2】解：y，.y.y|x1.【例3】解：y，曲线在点处的切线的斜率为ky|x9.切线方程为y39，即9xy60.【例4】正解：函数yx2的导数为y2x.设所求切线的切点为a(x0，y0)，则y0x，切线斜率为y|xx02x0.切线过点p(3,5)和a(x0，y0)两点，其斜率为，2x0，解得x01或x05，从而切点a的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为2x02；当切点为(5,25)时，切线的斜率为2x010.所求切线有两条，方程分别为y12(x1)或y510(x25)，即y2x1或y10x245.随堂练习巩固1c原式f(1)2a原式f(x0)f(x0)2f(x0)31y，f(1)1.41由导数的几何意义可知函数yx2在点p(x0，y0)处的切线的斜率就是该点处的导数由做一做3知：y2x，由题意得，解得x01.5分析：点p不在曲线上，可设切点为a(x0，y0)切线的斜率kf(x0)，又k，利用二者相等列出方程即可解决解：函数yx23的导数为y2x.设切点为a(x0，y0)，则y0x