高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案 新人教A版选修11.doc

3.2 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1.熟练掌握基本初等函数的导数公式;2.掌握导数的四则运算法则;3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一、创设情景五种常见函数、的导数公式及应用二、新课讲授(一)基本初等函数的导数公式表(二)导数的运算法则推论: (常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)(三)运算法则的证明证明:令 .即法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即:(范例: (1)求的导数.(2)求的导数.法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:指导学生尝试法则2的证明:令 .因为在点处可导,所以它在点处连续,于是当时,.从而 即说明:1. 2.若为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数. .法则3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方： 回顾导数定义：证明：设则 .因为在点处可导,所以在点处连续.于是当时,从而即说明: 若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为)必可导.若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如: 设,则在处均不可导,但它们的和在处可导.三、典例分析例1 假设某国家在年期间的年均通货膨胀率为,物价(单位:元)与时间(单位:年)有如下函数关系,其中为时的物价.假定某种商品的,那么在第个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到)?解: 根据基本初等函数导数公式表,有所以(元/年)因此,在第个年头,这种商品的价格约为元/年的速度上涨.例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)解: (1)。(2)(3)(4)(5)(6)，。(7) 点评: 求导数是在定义域内实行的;求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.例3 日常生活中的饮水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用(单位:元)为求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) (2)解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数(1)因为所以,纯净度为时,费用的瞬时变化率是元/吨(2)因为所以,纯净度为时,费用的瞬时变化率是元/吨注: 函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,.它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.例4 求曲线在点的切线方程.分析: 先要求出函数的导函数,然后利用导函数求出曲线在点的切线的斜率,最后应用点斜式求出切线的方程.解: 斜率切线方程为化简得故曲线在点的切线方程为类型题: 求曲线在点的切线方程.解: 略例5 试用求导的方法求和.解: 略补充例题例1 判断下列求导是否正确,加以改正. 解: 略例2 求下列函数的导数(1);(2).解: 略例3 求在点处的导数.解: 略例4 求下列函数的导数(1);(2);(3).解: 略例5 求的导数.解: 将函数变形为.例6 求的导数.解: 略注: 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.例7 求曲线在点处的切线方程.回顾导数的几何意义:函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.解: 略例8 曲线运动方程为,求时的速度.回顾导数的物理意义:瞬时速度是位移函数对时间的导数:.解: 略例9 已知抛物线通过点,且在点处与直线相