高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案（含解析）新人教A版选修2-2.doc

3.2.2复数代数形式的乘除运算学习目标1掌握复数代数形式的乘法和除法运算2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律3理解共轭复数的概念知识链接写出下列各小题的计算结果：(1)(ab)2_；(2)(3a2b)(3a2b)_；(3)(3a2b)(a3b)_(4)(xy)()_答案(1)a22abb2(2)9a24b2(3)3a211ab6b2(4)预习导引1复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3c，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z33.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示即zabi，则abi.4复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.要点一复数乘除法的运算例1计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2.解(1)(2i)(2i)4i24(1)5；(2)(12i)214i(2i)214i4i234i.规律方法(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等(2)像34i和34i这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为abi和abi，其数值特征为(abi)(abi)a2b2.跟踪演练1计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i)2.解(1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(2)(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(3)(1i)212ii22i.例2计算：(1)(12i)(34i)；(2)6.解(1)(12i)(34i)i；(2)原式6i61i.规律方法复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)跟踪演练2计算：(1)；(2).解(1)1i；(2)13i.要点二共轭复数及其应用例3已知复数z满足：z2iz86i，求复数z的实部与虚部的和解设zabi(a，br)，则za2b2，a2b22i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得，ab4，复数z的实部与虚部的和是4.规律方法本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点跟踪演练3已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解设zabi(a，br)，则abi且|z|1，即a2b21.因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z是纯虚数，所以3a4b0，且3b4a0.由联立，解得或所以i，或i.1复数i等于()a2i bi c0 d2i答案a解析ii2i，选a.2(2013江西)已知集合m1,2，zi，i为虚数单位，n3,4，mn4，则复数z()a2i b2i c4i d4i答案c解析本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算因为mn4，所以zi4，设zabi(a，br)，zibai，由zi4，利用复数相等，得a0，b4.故选c.3若复数z1i，i为虚数单位，则(1z)z等于()a13i b33i c3i d3答案a解析(1z)z(2i)(1i)(211)(21)i13i.4设复数z的共轭复数是，若复数z134i，z2ti，且z12是实数，则实数t等于()a. b c d答案a解析z2ti，2ti.z12(34i)(ti)3t4(4t3)i，又z12r，4t30，t.5复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限答案d解析因为z，故复数z对应的点在第四象限，选d.1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，br)，利用复数相等的充要条件转化.一、基础达标1设复数z满足iz1，其中i为虚数单位，则z等于()ai bi c1 d1答案a解析zi.2i为虚数单位，等于()a0 b2i c2i d4i答案a解析i，i，i，i，0.3若a，br，i为虚数单位，且(ai)ibi，则()aa1，b1 ba1，b1ca1，b1 da1，b1答案d解析(ai)i1aibi，.4在复平面内，复数(1i)2对应的点位于()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限答案b解析(1i)2i(22i)i，对应点在第二象限5设复数i满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_答案1解析由i(z1)32i得到z123i113i.6复数的虚部是_答案解析原式i，虚部为.7计算：(1)2 010；(2)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)解(1)2 0101 005i(1i)1 0051i(i)1 0051ii1.(2)原式(4i)(62i)(7i)(43i)2214i2525i4739i.二、能力提升8(2013新课标)设复数z满足(1i)z2i，则z()a1i b1i c1i d1i答案a解析因为复数z满足z(1i)2i，所以z1i.9(2013山东)若复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()a2i b2i c5i d5i答案d解析由(z3)(2i)5，得z3332i35i.所以5i，选d.10已知z是纯虚数，是实数，那么z等于_答案2i解析设zbi(br，b0)，则i是实数，所以b20，b2，所以z2i.11(2013山东聊城期中)已知复数z，若z2azb1i(a，br)，求ab的值解由z，得z1i，又z2azb1i，(1i)2a(1i)b1i，(ab)(2a)i1i，ab1.12已知复数z的共轭复数为，且z3iz，求z.解设zabi(a，br)，则abi.又z3iz，a2b23i(abi)，a2b23b3ai13i，或.z1，或z13i.三、探究与创新13已知1i是方程x2bxc0的一个根(b、c为实数)