高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.3 探究指数与指数函数知识点素材 北师大版必修1.doc_第1页
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探究指数与指数函数指数函数是中学数学中基本的初等函数之一，是高考必考内容，研究指数函数时，一是有关分数指数幂、根式的运算，近几年高考中没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行考查，它是为顺利解答其他与此有关的问题的工具；二是研究指数函数通常从分析底数开始，对底数进行合理的分类讨论。考点1、分数指数幂与根式的计算、化简与互化：例1、计算：；。解析：原式； 。点评：一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行计算，便于用运算性质进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的，对于计算结果，若没有什么要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求写出结果，但结果不能同时含有根式和分数指数幂。考点2、指数函数的性质及应用： 求定义域，值域（最值）问题的考查：例2、求函数的定义域和值域。 解析：由题意得： 即 ，解得：，故函数的定义域为， ，函数的值域为。点评：求函数的定义域，就是使函数的表达式有意义，一般转化为解不等式（组），从而求出自变量的取值范围。函数在上的最大值与最小值的和为3，则（ ）a、 b、 c、 d、 解法1、当时，为r上的单调递增函数，在上，则，故；当时，为r上的单调递减函数，在上， ，则，这与是矛盾的，故答案选b。 解法2、是单调函数，最值在区间的端点取得， ，解得，故答案选b。点评：的增减性与的取值有关，因此应分情况讨论，本题体现了分类讨论的数学思想。指数函数的图象问题的考查：yxo例3、若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）a、 b、 c、 d、解析：数形结合，如图，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且，故答案选c。点评：熟悉指数函数的图象，理解图象的变换规律，方可作出选择，本题主要考查指数函数的基础知识，考查特殊值法及数形结合思想。指数函数的单调性的考查：yxo1例4、如图所示是指数函数；的图象，则与1的大小比较是（ ） a、 b、c、 d、解析1、指数函数的底数大于1时，图象从左至右是上升的，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴故答案选b。解析2、作直线与四个图象交于四个点，得四个纵坐标，想y轴作投影，底数都“跑”到y轴上去了，可在数轴上直观地比较底数的大小：故答案选b。点评：本题考查了指数函数的图象的变化趋势，指数函数的图象在第一象限指数函数的图象，按逆时针转，底数依次增大。考点：指数函数的综合应用：例5、函数的定义域为集合a，关于的不等式的解集为b，求使的实数的取值范围。解析：由，得，即，是r上的增函数，由，得，当，即时， 又，得；当，即时，满足；当，即时，又，得；
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