高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.3 直线与平面的夹角课后导练 新人教B版选修2-1.doc

3.2.3 直线与平面的夹角课后导练基础达标1.直线a与平面内任一条线所成最小的角为，a是平面的斜线，b是平面内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（ ）a.最小值为,最大值为- b.最小值为,最大值为c.最小值为,无最大值 d.无最小值，最大值为答案：b2.如右图所示，在正方体abcd-a1b1c1d1中，求直线a1c1与平面abc1d1所成的角（ ）a.30 b.60 c.45 d.90答案：a3.正方体abcd-a1b1c1d1中，a1b和面bb1d1d所成的角为（ ）a.15 b.45 c.60 d.30答案：d4.如左下图，正方体abcd-a1b1c1d1中，e是cc1的中点，求be与平面b1bd所成角的余弦值_. 答案：5.如右上图，s是abc所在平面外一点，sa，sb，sc两两垂直，判断abc的形状_.答案：锐角三角形6.四面体s-abc中，sa、sb、sc两两垂直，sba=45，sbc=60，m为ab的中点，求：（1）bc与平面sab所成的角；（2）sc与平面abc所成角的正弦值.解析：(1)如右图,sa、sb、sc两两垂直,sc面sab.cbs是bc与平面sab所成的角.cbs=60,bc与平面sab所成的角为60.(2)连结mc,在rtasb中,sba=45,则smab.又sc面sab,scab,ab面smc.过s作somc于点o,则soab,so面abc, scm是sc与平面abc所成的角.设sb=a,则sc=a,sm=a,在rtcsm中,cm=a,sinscm=.7.在rtabc中，a=90，ab=3，ac=4，pa是平面abc的斜线，pab=pac=60，（1）求pa与平面abc所成角的大小；（2）pa的长等于多少时，点p在平面abc上的射影o恰好在bc边上？解：(1)如右图,过p作po平面abc于o,则pao为pa与平面abc所成的角,易证ao为bac的平分线,则oab=45.由公式cos=cos1cos2可得cospao=,pao=45.pa与平面abc所成的角为45.(2)若obc,在aob中,bo=,sinb=,由正弦定理可求得ao=.pa=f,即pa=时,点p在平面abc上的射影o恰好在bc边上.8.如右图,在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中,p是侧棱cc1上的一点,cp=m.试确定m,使得直线ap与平面bdd1b1所成角的正切值为3.解：建立如右图所示的空间直角坐标系,则a(1,0,0),b(1,1,0),p(0,1,m),c(0,1,0),d(0,0,0),b1(1,1,1),d1(0,0,1)所以=(-1,1,0), =(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0),又由=0,=0知, 为平面bb1d1d的一个法向量.设ap与平面bb1d1d所成的角为,则sin=cos(-)=依题意有,解得m=,故当m=时，直线ap与平面bdd1b1所成角的正切值为32.9.如右图，已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，ab=2，aa1=4，e为bc的中点，f为直线cc1上的动点，设c1f=fc.当=3时，求ef与平面abcd所成的角.解析：如右图建立空间直角坐标系,则d(0,0,0),e(1,2,0).当=3时,f(0,2,1),=(-1,0,1).设平面abcd的法向量为n,则n=(0,0,1).设与n的夹角为,则cos=ef与平面abcd所成的角为45.综合运用10.如下图所示，正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，对角线bd1=8，bd1与侧面bc1所成的角为30.求：bd1和底面abcd所成的角.解：正四棱柱ac1中,cc1底面a1c1,cc1d1c1,底面是正方形,d1c1b1c1,d1c1侧面bc1,d1c1bc1,d1bc1就是bd1与侧面bc1所成的角.d1bc1=30,d1b=8,d1c1=4,b1d1=bd.d1d底面ac,d1bd就是bd1与底面ac所成的角.d1bd中,cosd1bd=.d1bd=45,即bd1和底面abcd所成的角为45.11.正三棱柱abc-a1b1c1底面边长为a，侧棱长为a.(1)建立适当的坐标系，并写出点a、b、a1、c1的坐标；（2）求ac1与侧面abb1a1所成的角.解：(1)以点a为坐标原点o,以ab所在直线为oy轴,以aa1所在直线为oz轴,以经过原点且与平面abb1a1垂直的直线为ox轴,建立空间直角坐标系,由已知,得a(0,0,0)、b(0,a,0)、a1(0,0,2a)、c1(-a,a).(2)坐标系如右图，取a1b1的中点m，于是有m（0，,a）,连结am、mc1,有=(a,0,0)且=(0,a,0),=(0,0,a).由于=0,=0,mc1面abb1a1.ac1与am所成的角就是ac1与侧面abb1a1所成的角.=(a,a),=(0,a),=0+2a2=a2.而|=a,|=a.cos,=.与所成的角,即ac1与侧面abb1a1所成的角为30.12.如下图，正方体abcd-a1b1c1d1中，求证：a1c平面c1bd.证明：因为abcd-a1b1c1d1是正方体,所以a1a平面abcd.连结ac,则ac是a1c在平面abcd内的射影.又bdac,故由三垂线定理知bda1c.又a1b1平面b1bcc1,连结b1c,则b1c是a1c在平面b1bcc1内的射影.因为bc1b1c,所以由三垂线定理知bc1a1c.因为bdbc1=b，所以a1c平面c1bd.拓展研究13.如下图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中点.（1）证明pa平面edb；（2）求eb与底面abcd所成的角为正切值.分析：如下图所示建立空间直角坐标系,d是坐标原点,设dc=a.(1)证明:连结ac,ac交bd于g,连结eg.依题意得a(a,0,0),p(0,0,a),e(0,).因为底面abcd是正方形,所以g是此正方形的中心.故点g的坐标为(,0).所以=(a,0,-a).=(,0,-).所以=2.这表明paeg.而eg平面edb且pa平面edb，因为pa平面deb.(2)解:依题意得b(a,a,0),c(0,a,0).取dc的中点f(0, ,0),连结ef,bf