高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨本讲测评1 新人教A版选修4-1.doc

第三讲 圆锥曲线性质的探讨本讲检测一、选择题（每小题5分，共60分）1.一个圆的正射影不可能是( )a.圆 b.椭圆 c.线段 d.抛物线解析:当圆所在平面与射影平面平行时射影是圆,不平行时是椭圆,垂直时是线段.答案:d2.下列说法错误的是( )a.两条相交直线的平行射影还是相交直线b.两条平行直线的平行射影还是平行直线c.线段中点的平行射影仍然是线段平行射影中的中点d.角的平分线的平行射影还是该角平行射影的平分线解析:根据平行射影定义,a、b、c均正确,d是错误的.答案:d3.下列叙述中,不是圆锥曲线的是( )a.平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹b.平面上到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹c.平面上到定点和定直线距离相等的点的轨迹d.到角的两边距离相等的点的轨迹解析:a、b、c分别描述的是椭圆、双曲线和抛物线,d是角平分线.答案:d4.方程x2-3x+2=0的两根可作为( )a.两个椭圆的离心率 b.一双曲线、一条抛物线的离心率c.两双曲线的离心率 d.一个椭圆、一条抛物线的离心率解析:方程的两根分别为x1=1,x2=2,椭圆:0e1,双曲线:e1,抛物线:e=1.答案:b5.一平面与圆柱母线的夹角为30,则该平面与圆柱面交线的离心率为( )a. b. c. d.解析:e=cos30=.答案:a6.如果椭圆两准线之间的距离为8,长轴长为4,则短轴长为( )a. b. c.1 d.2解析:b=,2b=2.答案:b7.圆柱的底面半径为r,平面与母线的夹角为,则该平面与圆柱面的交线的焦距为( )a.2rcot b.2rtan c.2rcos d.2rsin解析:2a=,a=.又b=r,c=rcot,2c=2rcot.答案:a8.平面与圆锥轴线的夹角为30,与圆锥面交线的离心率为,则圆锥母线与轴线的夹角为( )a.30 b.45 c.60 d.无法确定解析:e=,.=60.答案:c9.平面与圆锥轴线夹角为45,圆锥母线与轴线夹角为60,平面与圆锥面交线的轴长为2,则焦距为( )a. b. c. d.解析:e=,c=,2c=.答案:b10.以圆锥曲线的焦点弦(过焦点垂直于轴)和相应的准线相交,则这样的圆锥曲线是( )a.不存在的 b.椭圆 c.双曲线 d.抛物线解析:由圆锥曲线的结构特点知选a.答案:a11.已知平面内有一条线段ab=4,动点p满足pa-pb=3,o为ab的中点,则po的最小值为( )a.1 b. c.2 d.3解析:由双曲线的定义,知p的轨迹是以轴长为3,焦距为4的双曲线,于是当p在双曲线顶点时,po最小,po=a=.答案:b12.椭圆的四个顶点abcd,若菱形abcd的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( )a. b. c. d.解析:由题意知ab=c,c4-3a2c2+a4=0.由a0,()4-3()2+1=0.e4-3e2+1=0.解得e=.答案:c二、填空题(每小题4分,共16分)13.已知双曲线的两个焦点分别为f1、f2,在右支上过f1的弦ab的长为5,若2a=8,那么abf2的周长是_.解析:由双曲线的结构特点:af2-af1=8,bf2-bf1=8.两式相加得af2+bf2-ab=16,af2+bf2=16+ab=21.abf2的周长=af2+bf2+ab=21+5=26.答案:2614.设椭圆的两个焦点分别是为f1、f2,过f2作长轴的垂线交椭圆于点p,pf1f2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为_.解析:pf1f2是等腰直角三角形,pf2=f1f2=2c,pf1=2c.由椭圆的定义,得pf1+pf2=2a.e=.答案: -115.过抛物线的焦点f作直线交抛物线于pq,分别过p、q作准线的垂线,a、b为垂足,则afb的形状是_.图3-3解析:由抛物线定义知pa=pf,过f作feab,如图,则paf=pfa.又pafe,paf=afe.同理,efb=bfq.afe+bfe=afp+bfq=90.afb是直角三角形.答案:直角三角形16.如图3-4,已知过双曲线的焦点f1作mnf1f2,以mn为直径的圆恰好过双曲线的顶点a,则双曲线的离心率等于_.图3-4解析:连结ma、na,则man=90,f1a=f1m.a+c=,即b2=a2+ac.又b2=c2-a2,a2+ac=c2-a2.c2-ac-2a2=0.()2-2=0.e2-e-2=0.结合e1,解得e=2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共74分)17.(12分)求证:三角形的中位线平行射影具有不变性.解:已知:abc,de是其中位线,它们的平行射影分别是abc和de,如图3-5,图3-5求证:de仍然是abc的中位线.证明:连结aa、ee、cc,则aaeecc,ae=ec,ae=ec.同理,ad=db.de是abc的中位线.18.(12分)如图3-6,抛物线的焦点为f,顶点为a,准线l过f作pfaf.以a为原点,以af所在直线为横轴建立平面直角坐标系.若pf=p,求证:(1)f的坐标为(,0);(2)准线l的方程为x=-.图3-6证明:由抛物线结构特点知pb=pf,ah=af,ah=af=pb=.(1)f的坐标为(,0).(2)l的方程为x=-.19.(12分)若椭圆的一个焦点为f,a、b分别为顶点,如图3-7,离心率为,求abf.解析:设椭圆的长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c,图3-7则ab=,af=a+c,bf=a.cosabf=.,a2-ac-c2=0.cosbaf=0.abf=90.20.(12分)如图3-8,已知f1、f2是双曲线的两个焦点,pq是经过f1且垂直于f1f2的弦且双曲线的离心率为+1,求pf2q.图3-8解析:设双曲线的实轴为2a,焦距为2c,则pf2-pf1=2a,f1f2=2c.在rtpf1f2中pf1=,pf2-=2a.又e=+1,2a=2(-1)c.pf2-=2(-1)c.解之,得pf2=2c.cospf2f1=.pf2f1=45.由对称性,qf2f1=45.pf2q=90.21.(12分)如图3-9,已知f1是双曲线的焦点,a是顶点,l1、l2是其准线,l1、l2分别与轴线f1a交于b1、b2,以b2为顶点,a为焦点的抛物线交双曲线于pq,且=e.其中e是双曲线的离心率,求e.图3-9解析:过p作pml1,由离心率定义得=e,由条件=e.=.pm=pa.又a是抛物线的焦点,l1是抛物线的准线.b2b1=b2a,b1b2=,b2a=a-.=a-.解之,得=3.e=3.22.(14分)已知圆锥的母线与轴线的夹角为,圆锥嵌入半径为r的dandelin球,平面与圆锥面的交线为抛物线,求抛物线的焦点到准线的距离.图3-10解析:设f为抛物线的焦点,a为顶点,fa的延长线交准线m于b,af的延长线与po交于点c.连结of、oa.平面与