高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量学案 新人教B版选修2-1.doc

3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量1理解直线与平面所成角的概念(重点)2会用向量法求线线、线面、面面的夹角(重点、难点)3正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系(易错点)基础初探教材整理1直线与平面的夹角阅读教材p106p107“例”以上部分内容，完成下列问题1直线与平面所成的角2最小角定理1已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为_【解析】设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，60.【答案】602pa，pb，pc是由点p出发的三条射线，两两夹角为60，则pc与平面pab所成角的余弦值为_【解析】设pc与平面pab所成的角为，则cos 60cos cos 30，得cos .【答案】教材整理2二面角及其度量阅读教材p108p109“例1”以上部分内容，完成下列问题1二面角的相关概念(1)二面角及其平面角半平面平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面棱为l，两个面分别为，的二面角，记作l，若a，b，则二面角也可以记作alb平面角在二面角l的棱上任取一点o，在两半平面内分别作射线oal，obl，则aob叫做二面角l的平面角(2)二面角的范围设二面角为，则0180.2直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角3二面角的度量(1)分别在二面角l的面，内，作向量n1l，n2l，则可以用n1，n2来度量二面角l.(2)设m1，m2，则m1，m2与二面角l大小相等或互补1在正方体abcda1b1c1d1中，二面角a1bca的余弦值为()a.bcd【解析】易知a1ba为二面角a1bca的平面角，cosa1ba.【答案】c2已知abc和bcd均为边长为a的等边三角形，且ada，则二面角abcd的大小为() 【导学号：15460077】a30 b45 c60 d90【解析】如图，取bc的中点为e，连接ae，de，由题意得aebc，debc，且aedea，又ada，aed60，即二面角abcd的大小为60.【答案】c质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型利用空间角的定义求空间角在长方体abcda1b1c1d1中，ab4，bc3，aa15，试求b1d1与平面a1bcd1所成角的正弦值【精彩点拨】作出b1点在平面a1bcd1内的射影，从而得到b1d1在平面a1bcd1内的射影【自主解答】作b1ea1b，垂足为e，又因为a1d1平面abb1a1，a1d1b1e.由b1ea1b及b1ea1d1得b1e平面a1bcd1，所以，d1e就是d1b1在平面a1bcd1内的射影，从而b1d1e就是d1b1与平面a1bcd1所成的角在rtb1d1e中，有sinb1d1e.d1b15，又sa1bb1a1beb1a1b1bb1，a1b，eb1，sinb1d1e.1作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”2用定义求二面角的步骤：(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)；(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角形求角再练一题1如图3224，abcd是正方形，v是平面abcd外一点，且vavbvcab，求二面角avbc的余弦值图3224【解】取vb的中点为e，连接ae，ce.vaabbcvc，aevb，cevb.aec是二面角avbc的平面角设aba，连接ac，在aec中，aeeca，aca，由余弦定理可知cosaec，所求二面角avbc的余弦值为.利用空间向量求线面角如图3225所示，三棱锥pabc中，pa平面abc，abac，paacab，n为ab上一点，ab4an，m，s分别为pb，bc的中点图3225(1)证明：cmsn；(2)求sn与平面cmn所成角的大小【精彩点拨】(1)怎样建立坐标系？(2)向量与满足什么关系时有cmsn成立？(3)的坐标是多少？平面cmn的一个法向量怎么求？与平面cmn的法向量的夹角就是sn与平面cmn所成的角吗？【自主解答】设pa1，以a为原点，射线ab，ac，ap分别为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)则p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，又anab，m，s分别为pb，bc的中点，n，m，s，(1)，0，因此cmsn.(2)，设a(x，y，z)为平面cmn的一个法向量，a0，a0.则取y1，得a(2,1，2)因为cos.a，.所以sn与平面cmn所成的角为.1本题中直线的方向向量与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角，它们的关系是sin |cos，a|.2若直线l与平面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下：再练一题2设在直三棱柱abca1b1c1中，abacaa12，bac90，e，f依次为c1c，bc的中点试求a1b与平面aef的夹角的正弦值图3226【解】以a为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，a1(0,0,2)，b(2,0,0)，e(0,2,1)，f(1,1,0)，所以(2,0，2)，(0,2,1)，(1,1,0)设平面aef的一个法向量为n(a，b，c)，由得令a1，可得n(1，1,2)设a1b与平面aef的夹角为，所以sin |cosn，|，即a1b与平面aef的夹角的正弦值为.探究共研型求二面角探究1如何利用向量求二面角的大小？【提示】当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的探究2在底面为平行四边形的四棱锥pabcd中，abac，pa平面abcd，且paab，e是pd的中点，求平面eac与平面abcd的夹角【提示】法一如图，以a为原点，分别以ac，ab，ap所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设paaba，acb，连接bd与ac交于点o，取ad中点f，则c(b,0,0)，b(0，a,0)，.d(b，a,0)，p(0,0，a)，e，o，(b,0,0)0，0.eof为平面eac与平面abcd的夹角(或补角)cos，.平面eac与平面abcd的夹角为45.法二建系如方法一，pa平面abcd，(0,0，a)为平面abcd的法向量，(b,0,0)设平面aec的法向量为m(x，y，z)由得x0，yz.取m(0,1,1)，cosm，.平面aec与平面abcd的夹角为45.如图3227，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accbab.图3227(1)证明：bc1平面a1cd；(2)求二面角da1ce的正弦值【精彩点拨】(1)能否运用线面平行的判定定理求解？(2)如何建立空间直角坐标系，能确定平面da1c和平面a1ce的法向量，进而利用公式求出二面角的正弦值？【自主解答】(1)证明：连接ac1，交a1c于点f，则f为ac1的中点又d是ab的中点，连接df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)由accbab，得acbc.以c为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设ca2，则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m(x2，y2，z2)是平面a1 ce的法向量，则即可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角da1ce的正弦值为.用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定二面角的大小再练一题3如图3228，在空间直角坐标系cxyz中，ab是圆o的直径，acbc2，dceb，dceb，taneab，求二面角daeb的余弦值图3228【解】由题可知ab4，taneab，可得cdeb1，d(0,0,1)，e(0,2，1)，a(2，0,0)，b(0，2，0)，则(2，2，0)，(0,0,1)，(2，0，1)，(0,2，0)，设平面dae的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即y10，令x11，则z12，平面dae的一个法向量为n1(1,0,2)设平面abe的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即z20，令x21，则y21，平面abe的一个法向量为n2(1,1,0)，cosn1，n2.由图可以判断二面角daeb为钝角，二面角daeb的余弦值为.构建体系1正方体abcda1b1c1d1中，o为侧面bcc1b1的中心，则ao与平面abcd所成角的正弦值为()a.bcd【解析】取bc中点m，连接am，om，易知oam即为ao与平面abcd所成的角，可求得sinoam.【答案】c2在正方体abcda1b1c1d1中，e是c1c的中点，则直线be与平面b1bd所成的角的正弦值为()a bc d【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则d(0,0,0)，b(2,2,0)，b1(2,2,2)，e(0,2,1)(2，2,0)，(0,0,2)，(2,0,1)设平面b1bd的法向量为n(x，y，z)n，n，令y1，则n(1,1,0)cosn，设直线be与平面b1bd所成角为，则sin |cosn，|.【答案】b3在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为_. 【导学号：15460078】【解析】两向量夹角与二面角相等或互补，则二面角的余弦值为.【答案】4.如图3229，pa平面abc，acbc，paac1，bc，求二面角apbc的余弦值为_图3229【解析】如图建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(，1,0)，c(0,1,0)，p(0,0,1)，(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)，(0，1,1)设平面pab的法向量为m(x，y，z)，则即解得令x1，则m(1，0)设平面pbc的法向量为n(x，y，z)，则即解得令y1，则n(0，1，1)，cosm，n.故二面角apbc的余弦值为.【答案】5.如图3230，在三棱锥pabq中，pb平面abq，babpbq，d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，aq2bd，pd与eq交于点g，pc与fq交于点h，连接gh.图3230(1)求证：abgh；(2)求二面角dghe的余弦值【解】(1)证明：因为d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，所以efab，dcab.所以efdc.又因为ef平面pcd，dc平面pcd，所以ef平面pcd.又因为ef平面efq，平面efq平面pcdgh，所以efgh.又因为efab，所以abgh.(2)在abq中，aq2bd，addq，所以abq90.又因为pb平面abq，所以ba，bq，bp两两垂直以点b为坐标原点，分别以ba，bq，bp所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设babpbq2，则e(1,0,1)，f(0,0,1)，q(0,2,0)，d(1,1,0)，c(0,1,0)，p(0,0,2)，所以(1,2，1)，(0,2，1)，(1，1,2)，(0，1,2)设平面efq的一个法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取y11，得m(0,1,2)设平面pdc的一个法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取z21，得n(0,2,1)所以cosm，n.因为二面角dghe为钝角，所以二面角dghe的余弦值为.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()a120b60c30 d以上均错【解析】设直线l与平面所成的角为，则sin |cos 120|.又090，30.【答案】c2若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()a. bc. d【解析】由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为.【答案】d3正方形abcd所在平面外一点p，pa平面abcd，若paab，则平面pab与平面pcd的夹角为() 【导学号：15460079】a30 b45c60 d90【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设paab1.则a(0,0,0)，d(0,1,0)，p(0,0,1)于是(0,1,0)取pd中点为e，则e，易知是平面pab的法向量，是平面pcd的法向量，cos，平面pab与平面pcd的夹角为45.【答案】b4如图3231，在空间直角坐标系dxyz中，四棱柱abcda1b1c1d1为长方体，aa1ab2ad，点e，f分别为c1d1，a1b的中点，则二面角b1a1be的余弦值为()图3231a bc. d【解析】设ad1，则a1(1,0,2)，b(1,2,0)，因为e，f分别为c1d1，a1b的中点，所以e(0,1,2)，f(1,1,1)，所以(1,1,0)，(0,2，2)，设m(x，y，z)是平面a1be的法向量，则所以所以取x1，则yz1，所以平面a1be的一个法向量为m(1,1,1)，又da平面a1b1b，所以(1,0,0)是平面a1b1b的一个法向量，所以cosm，又二面角b1a1be为锐二面角，所以二面角b1a1be的余弦值为，故选c.【答案】c5正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为ab，c1d1的中点，则a1b1与平面a1ef夹角的正弦值为()a. bc. d【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则a1(1,0,1)，e，f，b1(1,1,1)(0,1,0)，设平面a1ef的法向量n(x，y，z)，则即令y2，则n(1,2,1)，cosn，即线面角的正弦值为.【答案】b二、填空题6等腰rtabc的斜边ab在平面内，若ac与成30角，则斜边上的中线cm与平面所成的角为_【解析】作co，o为垂足，连接ao，mo，则cao30，cmo为cm与所成的角在rtaoc中，设co1，则ac2.在等腰rtabc中，由ac2得cm.在rtcmo中，sincmo，所以cmo45.【答案】457在空间直角坐标系oxyz中，已知a(1，2,0)，b(2,1，)，则向量与平面xoz的法向量的夹角的正弦值为_【解析】设平面xoz的法向量为n(0，t,0)(t0)，(1,3, )，所以cosn，因为n，0，所以sinn，.【答案】8已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值等于_【解析】如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面abc的法向量为n1(0,0,1)，平面aef的法向量为n2(x，y，z)所以a(1,0,0)，e，f，所以，则即取x1，则y1，z3.故n2(1，1,3)所以cosn1，n2.所以平面aef与平面abc所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，所以tan .【答案】三、解答题9.如图3232所示，在四面体abcd中，o，e分别是bd，bc的中点，cacbcdbd2，abad.图3232(1)求证：ao平面bcd；(2)求异面直线ab与cd所成角的余弦值【解】(1)证明：连接oc，由题意知bodo，abad，aobd.又bodo，bccd，cobd.在aoc中，由已知可得ao1，co，又ac2，ao2co2ac2，aoc90，即aooc.bdoco，ao平面bcd.(2)以o为坐标原点建立空间直角坐标系，则b(1,0,0)，d(1,0,0)，c(0, ，0)，a(0,0,1)，e，(1,0,1)，(1，0)，cos，.异面直线ab与cd所成角的余弦值为.10四棱锥pabcd的底面是正方形，pd底面abcd，点e在棱pb上(1)求证：平面aec平面pdb；(2)当pdab且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小【解】如图，以d为原点建立空间直角坐标系dxyz，设aba，pdh，则a(a,0,0)，b(a，a,0)，c(0，a,0)，d(0,0,0)，p(0,0，h)，(1)(a，a,0)，(0,0，h)，(a，a,0)，0，0，acdp，acdb，又dpdbd，ac平面pdb，又ac平面aec，平面aec平面pdb.(2)当pdab且e为pb的中点时，p(0,0，a)，e，设acbdo，o，连接oe，由(1)知ac平面pdb于o，aeo为ae与平面pdb所成的角，cosaeo，aeo45，即ae与平面pdb所成的角的大小为45.能力提升1已知在长方体abcda1b1c1d1中，abbc1，aa12，e是侧棱bb1的中点，则直线ae与平面a1ed1所成角的大小为()a60 b90c45 d以上都不对【解析】以点d为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图由题意知，a1(1,0,2)，e(1,1,1)，d1(0,0,2)，a(1,0,0)，所以(0,1，1)，(1,1，1)