高中数学 第二章 变化率与导数 3 计算导数教材基础 北师大版选修2-2.DOC

3 计算导数 导数定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式.高手支招1细品教材一、导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间（a，b）上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x):f(x)=,则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也称为导数.二、几种常见函数的导数1.设y=c(常数)，则y=0.（1）表述：常数函数的导数为零.（2）证明：y=f(x+x)-f(x)=c-c=0,=0,y=c=0.y=0.（3）我们可以用几何图形对公式加以说明：因为y=c的图像是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.【示例】设y=2，则y等于（ ）a.2 b. c.0 d.以上都不是思路分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可.因为是常数，常数的导数为零，所以选c.答案：c状元笔记 函数f(x)=x、f(x)=x2、f(x)=x-1是函数f(x)=xn(nr)的特殊情况，它们的导数也是f(x)=xn(nr)导数的特殊情况.2.(xn)=nxn-1(n为实数).表述：正整数指数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n-1)次幂的乘积.【示例】求函数y=在点x=8处的导数.解：y=x,y=x,y|x=8=8=.3.(sinx)=cosx.（1）表述：正弦函数的导数等于余弦函数.（2）证明：yf(x)=sinx，y=sin(x+x)sinx=sinxcosx+cosxsinx-sinx，y= =+cosx=-2sinx10+cosx=cosx，y=cosx.【示例】求曲线y=sinx在点a(,)处的切线方程.解：y=cosx,曲线在点a处的切线斜率为y=cos=.所以，所求切线方程为y=(x-)，即6x-12y-+6=0.状元笔记 有些式子不能直接应用导数的公式，可以变形之后再应用导数公式.4.(cosx)=sinx.（1）表述：余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号.（2）证明：y=cos(x+x)-cosx=cosxcosx-sinxsinx-cosx,y=-2cosx10-sinx=-sinx,y=-sinx【示例】求过曲线y=cosx上点p(,)且与过这点的切线垂直的直线方程.思路分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点p处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程.解：y=cosx，y=-sinx.曲线在点p(,)处的切线斜率是y=-sin=.过点p且与切线垂直的直线的斜率为，所求的直线方程为y=(x-)，即2x-y-+=0.高手支招2基础整理 本节首先通过几个常用函数的导数的推导过程,进一步理解导数的定义.然后引入了几种常见的基本初等函数的导数公式.几种常见函数的导数基本初等函数基本初等函数的导数f(x)=cf(x)=0f(x)=xn(nr)f(x)=nxn-1f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=cosxf(x)=-sinxf(x)=ax（a0,a1）f(x)=axlnaf(x)=exf(x)=exf(x)=logax(a0且a1)f(x)=f(x)=lnxf(x)=高手支招3综合探究1.通过函数y=f(x)在x0处的导数的定义，探究x0(a,b)时,y=f(x)在x0处可导与y=f(x)在(a,b)内处处可导的等价性.自变量x在x0处有增量x,那么相应地函数y也有增量y=f(x0+x)f(x0),若存在,则这个极限值为y=f(x)在x=x0处的导数.x0(a,b)时,y=f(x)在x0处可导,只能说明在(a,b)内某一点x0可导,而不能说明(a,b)内每点处都有导数,所以不能得到y=f(x)在(a,b)内处处可导;反之，y=f(x)在(a，b)内处处可导，因为x0(a,b),所以y=f(x)在x0处可导，所以，y=f(x)在x0(a,b