高中数学 第三章 变化率与导数 3.2 导数的概念及其几何意义导学案 北师大版选修11.doc

3.2 导数的概念及其几何意义学习目标1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.知识点一导数的概念思考1平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？答案平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.梳理定义式 记法f(x0)实质函数yf(x)在xx0处的导数就是yf(x)在xx0处的瞬时变化率知识点二导数的几何意义如图，pn的坐标为(xn，f(xn)(n1，2，3，4，)，p的坐标为(x0，y0)，直线pt为过点p的切线.思考1割线ppn的斜率kn是多少？答案割线ppn的斜率kn.思考2当点pn无限趋近于点p时，割线ppn的斜率kn与切线pt的斜率k有什么关系？答案kn无限趋近于切线pt的斜率k.梳理(1)切线的定义：当pn趋近于点p时，割线ppn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线pt称为点p处的切线.(2)导数f(x0)的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是切线的斜率k，即k f(x0).(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).类型一利用定义求导数例1求函数f(x)3x22x在x1处的导数.解y3(1x)22(1x)(31221)3(x)24x，3x4，f(1) (3x4)4.反思与感悟求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0) .跟踪训练1利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数.解由导数的定义知，函数在x2处的导数f(2) ，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，于是f(2) (x1)1.类型二求切线方程命题角度1求在某点处的切线方程例2已知曲线y2x2上一点a(1，2)，求：(1)点a处的切线的斜率；(2)点a处的切线方程.解(1)k (42x)4，点a处的切线的斜率为4.(2)点a处的切线方程是y24(x1)，即4xy20.反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2曲线yx21在点p(2，5)处的切线与y轴交点的纵坐标是 .答案3解析 (4x)4，曲线yx21在点(2，5)处的切线方程为y54(x2)，即y4x3.切线与y轴交点的纵坐标是3.命题角度2曲线过某点的切线方程例3求抛物线yx2过点(4，)的切线方程.解设切线在抛物线上的切点为(x0，x)， (x0x)x0.x0，即x8x070，解得x07或x01，即切线过抛物线yx2上的点(7，)，(1，)，故切线方程为y(x7)或y(x1)，化简得14x4y490或2x4y10，即为所求的切线方程.反思与感悟过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，y0)；(2)建立方程f(x0)；(3)解方程得kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.跟踪训练3求过点(1，2)且与曲线y2xx3相切的直线方程.解 23x23xx(x)223x2.设切点坐标为(x0，2x0x).切线方程为y2x0x(23x)(xx0).又切线过点(1，2)，22x0x(23x)(1x0)，即2x3x0，x00或x0.切点坐标为(0，0)或.当切点坐标为(0，0)时，切线斜率为2，切线方程为y2x，即2xy0.当切点坐标为时，切线斜率为，切线方程为y2(x1)，即19x4y270.综上可知，过点(1，2)且与曲线相切的切线方程为2xy0或19x4y270.类型三导数的几何意义的综合应用例4已知曲线f(x)x21与g(x)x31在xx0处的切线互相垂直，求x0的值.解因为f(x0) (x2x0)2x0，g(x0) (x)23x0x3x3x，k12x0，k23x，因为切线互相垂直，所以k1k21，即6x1，解得x0.引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？解由例4知，f(x0)2x0，g(x0)3x，k12x0，k23x，由题意知2x03x，得x00或.反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系.跟踪训练4已知直线l：y4xa与曲线c：yx32x23相切，求a的值及切点坐标.解设直线l与曲线c相切于点p(x0，y0).kc 3x24x，由题意可知k4，即3x4x04，解得x0或x02，切点的坐标为(，)或(2，3).当切点为(，)时，有4()a，a.当切点为(2，3)时，有342a，a5.当a时，切点坐标为(，)；当a5时，切点坐标为(2，3).1.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()a.f(x)a b.f(x)bc.f(x0)a d.f(x0)b答案c解析f(x0) (abx)a.2.曲线f(x)在点(3，3)处的切线的倾斜角等于()a.45 b.60 c.135 d.120答案c解析f(x) 9 9 ，f(3)1，又直线的倾斜角范围为0，180)，倾斜角为135.3.如图，函数yf(x)的图像在点p(2，y)处的切线是l，则f(2)f(2)等于()a.4 b.3c.2 d.1答案d解析由题干中的图像可得函数yf(x)的图像在点p处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则可知l：xy4，f(2)2，f(2)1，代入可得f(2)f(2)1，故选d.4.已知函数yax2b在点(1，3)处的切线斜率为2，则 .答案2解析 2a，由题意知2a2，a1.又点(1，3)在yax2b的图像上，ab3.由可得b2，2.5.求曲线y在点处的切线方程.解因为 .所以这条曲线在点处的切线斜率为，由直线的点斜式方程可得切线方程为y(x2)，即x4y40.1.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0).2.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.40分钟课时作业一、选择题1.已知yf(x)的图像如图，则f(xa)与f(xb)的大小关系是()a.f(xa)f(xb)b.f(xa)f(xb)c.f(xa)f(xb)d.不能确定答案b解析由导数的几何意义，知f(xa)，f(xb)分别是切线在点a、b处切线的斜率，由图像可知f(xa)f(xb).2.下列点中，在曲线yx2上，且在该点处的切线倾斜角为的是()a.(0，0) b.(2，4)c.(，) d.(，)答案d解析 2x，又切线的倾斜角为，直线斜率为tan 1，则2x1，x，y，则切点为(，).3.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()a.a1，b1 b.a1，b1c.a1，b1 d.a1，b1答案a解析由题意，知k 1，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选a.4.设f(x)为可导函数，且满足 1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是()a.1 b.1 c. d.2答案b解析 1， 1，f(1)1.5.设p0为曲线f(x)x3x2上的点，且曲线在p0处的切线平行于直线y4x1，则点p0的坐标为()a.(1，0) b.(2，8)c.(1，0)或(1，4) d.(2，8)或(1，4)答案c解析根据导数的定义可求得f(x)3x21，由于曲线f(x)x3x2在p0处的切线平行于直线y4x1，所以f(x)在p0处的导数值等于4，设p0(x0，y0)，故f(x0)3x14，解得x01，这时p0点的坐标为(1，0)或(1，4)，故选c.6.设p为曲线c：f(x)x22x3上的点，且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为，则点p的横坐标的取值范围为()a.(， b.1，0c.0，1 d.，)答案d解析设点p的横坐标为x0，则点p处的切线倾斜角与x0的关系为tan f(x0) 2x02.，tan 1，)，2x021，即x0.x0的取值范围为，).二、填空题7.已知函数f(x)2x3，则f(5) .答案2解析f(5) 2.8.如图，函数f(x)的图像是折线段abc，其中a，b，c的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(0) ； .(用数字作答)答案22解析f(0)4，f(f(0)f(4)2，f(1) 2.9.曲线yx3在点(1，1)处的切线与x轴，直线x2所围成的三角形的面积为 .答案解析k 3，曲线yx3在点(1，1)处的切线方程为y13(x1)，即3xy20，则切线与x轴，直线x2所围成的三角形面积为(2)4.10.若抛物线yx2xc上一点p的横坐标是2，抛物线过点p的切线恰好过坐标原点，则c的值为 .答案4解析设抛物线在p点处切线的斜率为k，k 5，切线方程为y5x，点p的纵坐标为y5(2)10，将p(2，10)代入yx2xc，得c4.三、解答题11.已知抛物线yax2bxc过点p(1，1)，且在点q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a，b，c的值.解因为抛物线过点p，所以abc1，又 4ab，由题意知4ab1，又抛物线过点q，4a2bc1，由解得a3，b11，c9.12.设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值.解f(x0) 3x