高中数学 第二章 圆锥曲线与方程考前过关训练 新人教A版选修1-1.doc

圆锥曲线与方程(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2015湖南高考)若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()a.73b.54c.43d.53【解析】选d.因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e=ca=53.【补偿训练】(2016长沙高二检测)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为f1,f2,过f2的直线与圆x2+y2=b2相切于点a,并与椭圆c交于不同的两点p,q,如图,若pf1pq,则椭圆的离心率为()a.23b.33c.53d.73【解题指南】连接oa,pf1,则oapq,又pf1pq,所以a为线段pf2的中点,于是pf1=2b.结合椭圆的定义有pf2=2a-2b,由此能求出椭圆的离心率.【解析】选c.连接oa,pf1,则oapq,又pf1pq,可得oapf1,所以a为线段pf2的中点,于是pf1=2b.结合椭圆的定义有pf2=2a-2b,在直角三角形pf1f2中,利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,将c2=a2-b2代入,整理可得b=23a,于是e=ca=a2-b2a=a2-49a2a=53.2.(2016南昌高二检测)过双曲线c:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线与c的一条渐近线相交于a.若以c的右焦点为圆心、半径为4的圆经过a,o两点(o为坐标原点),则双曲线c的方程为()a.x24-y212=1b.x27-y29=1c.x28-y28=1d.x212-y24=1【解题指南】设右焦点为f,|of|=|af|=4.【解析】选a.设右焦点为f.由题意得|of|=|af|=4,即a2+b2=16,可设a(a,b),由f(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以双曲线的方程为x24-y212=1.3.(2016广州高二检测)以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是()a.x216-y220=1b.y216-x220=1c.x220-y216=1d.y220-x216=1【解析】选c.设双曲线的标准方程是x2a2-y2b2=1(a0,b0),因为双曲线以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2),所以c=a2+b2=6,(-5)2a2-22b2=1,解之得a2=20,b2=16,因此,该双曲线的标准方程为x220-y216=1.4.(2016西安高二检测)已知f1,f2为双曲线c:x2-y2=2的左、右焦点,点p在c上,|pf1|=2|pf2|,则cosf1pf2=()a.14b.35c.34d.45【解析】选c.依题意:a=b=2,所以c=2.因为|pf1|=2|pf2|,则设|pf2|=m,则|pf1|=2m,又|pf1|-|pf2|=22=m.所以|pf1|=42,|pf2|=22.又|f1f2|=4,所以cosf1pf2=(42)2+(22)2-4224222=34.5.(2016桂林高二检测)过抛物线y2=2px(p0)的焦点f的直线l与抛物线在第一象限的交点为a,与抛物线的准线的交点为b,点a在抛物线准线上的射影为c,若af=fb,babc=48,则抛物线的方程为()a.y2=4xb.y2=8xc.y2=16xd.y2=42x【解析】选a.设抛物线的准线与x轴的交点为d,依题意,f为线段ab的中点,故|af|=|ac|=2|fd|=2p,|ab|=2|af|=2|ac|=4p,所以abc=30,|bc|=23p,babc=4p23pcos30=48,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点a关于原点的对称点为点b,f为其右焦点.若afbf,设abf=,且6,4,则该椭圆离心率e的取值范围为()a.22,3-1b.22,1c.22,32d.33,63【解析】选a.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点a关于原点的对称点为b,f为其右焦点,设左焦点为n连接af,an,bn,bf,所以:四边形afbn为长方形.根据椭圆的定义得|af|+|an|=2a,abf=,则anf=.所以:2a=2ccos+2csin利用e=2c2a=1sin+cos=12sin+4,6,4,所以512+42,则2212sin+43-1,即椭圆离心率e的取值范围为22,3-1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2016济南高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为2c,右顶点为a,抛物线x2=2py(p0)的焦点为f,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|fa|=c,则双曲线的渐近线方程为.【解题指南】本题考查了双曲线的知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程.【解析】由题意知p2=c2-a2=b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为c,-p2,即(c,-b),代入双曲线方程为c2a2-b2b2=1,得c2a2=2,所以ba=c2a2-1=1,所以渐近线方程为y=x.答案:y=x【补偿训练】若曲线x2k-2+y2k+5=1的焦距与k无关,则它的焦点坐标是.【解析】因为k+5k-2,又曲线x2k-2+y2k+5=1的焦距与k无关,所以k+50,k-20,曲线是焦点在y轴上的双曲线,且a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,故焦点坐标为(0,7).答案:(0,7)8.(2016青岛高二检测)已知椭圆x24+y22=1,过点p(1,1)作直线l与椭圆交于a,b两点,且点p是线段ab的中点,则直线l的斜率为.【解析】设a(x1,y1),b(x2,y2),则x124+y122=1,x224+y222=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)4+(y1+y2)(y1-y2)2=0,又点p(1,1)是ab的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2,所以2(x1-x2)4+2(y1-y2)2=0,从而x1-x22+y1-y2=0,又x1x2,所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=-12.答案:-129.(2016重庆高二检测)设双曲线c的中心为点o,若有且只有一对相交于点o所成的角为60的直线a1b1和a2b2,使|a1b1|=|a2b2|,其中a1,b1和a2,b2分别是这对直线与双曲线c的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是.【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线a1b1和a2b2的斜率之间的关系即可.【解析】由题意知,直线a1b1和a2b2关于x轴对称,又所成的角为60,所以直线方程为y=33x或y=3x.又因为有且只有一对相交于点o所成的角为60的直线a1b1和a2b2,使|a1b1|=|a2b2|,所以渐近线斜率满足33ba3,解得2331)上,直线ab,ac分别过椭圆的左右焦点f1,f2,当acf1f2=0时,有9af1af2=af12.(1)求椭圆m的方程.(2)设p是椭圆m上的任一点,ef为圆n:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求pepf的最大值.【解析】(1)因为acf1f2=0,所以有acf1f2,所以af1f2为直角三角形,所以|af1|cosf1af2=|af2|,因为9af1af2=af12,所以9af1af2=9|af1|af2|cosf1af2=9|af2|2=af12=|af1|2,所以|af1|=3|af2|,又|af1|+|af2|=2a,所以|af1|=3a2,|af2|=a2,在rtaf1f2中,有|af1|2=|af2|2+|f1f2|2,即3a22=a22+4(a2-1),解得a2=2,椭圆m的方程为x22+y2=1.(2)pepf=(ne-np)(nf-np)=(-nf-np)(nf-np)=(-np)2-nf2=np2-1,从而将求pepf的最大值转化为求np2的最大值,p是椭圆m上的任一点,设p(x0,y0),则有x022+y02=1,即x02=2-2y02,又n(0,2),所以np2=x02+(y0-2)2=-(y0+2)2+10,而y0-1,1,所以当y0=-1时,np2取最大值9,故pepf的最大值为8.【补偿训练】设抛物线y2=2px(p0),rtaob内接于抛物线,o为坐标原点,aobo,ao所在的直线方程为y=2x,|ab|=513,求抛物线的方程.【解题指南】根据aobo,直线ao的斜率为2,可知直线bo的斜率为-12,进而得出直线bo的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出a,b的坐标.根据两点间的距离为513求得p.【解析】因为aobo,直线ao的斜率为2,所以直线bo的斜率为-12,即直线bd的方程为y=-12x,把直线y=2x代入抛物线方程解得a坐标为p2,p,把直线y=-12x代入抛物线方程解得b坐标为(8p,-4p).因为|ab|=513,所以p22+p2+64p2+16p2=2513,所以p2=4,因为p0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.11.(2016郑州高二检测)已知经过点a(-4,0)的动直线l与抛物线g:x2=2py(p0)相交于b,c.(1)当直线l的斜率是12时,ac=14ab,求抛物线g的方程.(2)设线段bc的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.【解析】(1)设b(x1,y1),c(x2,y2),由已知得,当k1=12时, l方程为y=12(x+4),即x=2y-4.由x2=2py,x=2y-4,得2y2-(8+p)y+8=0,所以由根与系数的关系得y1y2=4,y1+y2=8+p2,又因为ac=14ab,所以y2=14y1或y1=4y2.由p0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线g的方程为x2=4y.(2)由题意知l的斜率存