高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用学案 新人教B版选修1-1.doc

2.1.2 第2课时椭圆方程及性质的应用1掌握直线与椭圆的位置关系2通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题(重点)3能利用椭圆的有关性质解决实际问题(难点)基础初探教材整理1点与椭圆的位置关系阅读教材p40p41内容，完成下列问题设点p(x0，y0)，椭圆1(ab0)(1)点p在椭圆上1；(2)点p在椭圆内1；(3)点p在椭圆外1.已知点(2,3)在椭圆1上，则下列说法正确的是_点(2,3)在椭圆外；点(3,2)在椭圆上；点(2，3)在椭圆内； 点(2，3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，3)也在椭圆上【答案】教材整理2直线与椭圆的位置关系1直线与椭圆的位置关系及判定直线ykxm与椭圆1(ab0)联立消去y得一个一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解02.弦长公式设直线ykxb与椭圆的交点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2|y1y2|.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)点p(2,1)在椭圆1的内部()(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切()(3)过点a(0,1)的直线一定与椭圆x21相交()(4)长轴是椭圆中最长的弦()【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型直线与椭圆的位置关系已知椭圆4x2y21及直线yxm，问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？ 【导学号：25650053】【精彩点拨】利用几何法判断直线与椭圆的位置关系【自主解答】将yxm代入4x2y21，消去y整理得5x22mxm210.4m220(m21)2016m2.当0时，得m，直线与椭圆相切当0时，得m，直线与椭圆相交当0时，得m或m，直线与椭圆相离1直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系2有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解再练一题1已知椭圆的方程为x22y22.(1)判断直线yx与椭圆的位置关系；(2)判断直线yx2与椭圆的位置关系；(3)在椭圆上找一点p，使p到直线yx2的距离最小，并求出这个最小距离【解】(1)由得3x24x40.(4)24340，直线yx与椭圆相切(2)由得3x28x60.6443680，直线yx2与椭圆相离(3)由(1)、(2)知直线yx与椭圆的切点p满足条件，由(1)得p的坐标为，最小距离d.直线与椭圆的相交弦问题已知椭圆1和点p(4,2)，直线l经过点p且与椭圆交于a、b两点. 【导学号：25650054】(1)当直线l的斜率为时，求线段ab的长度；(2)当p点恰好为线段ab的中点时，求l的方程【精彩点拨】(1)设直线方程联立方程组利用弦长公式求解；(2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用【自主解答】(1)由已知可得直线l的方程为y2(x4)，即yx.由可得x2180，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)则x1x20，x1x218.于是|ab|63.所以线段ab的长度为3.(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4)联立消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，由于ab的中点恰好为p(4,2)，所以4，解得k，且满足0.这时直线的方程为y2(x4)，即yx4.法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kab，由于p(4,2)是ab的中点，x1x28，y1y24，于是kab，于是直线ab的方程为y2(x4)，即yx4.1求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长一定要熟记公式的形式并能准确运算2解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)是椭圆1(ab0)上的两个不同的点，m(x0，y0)是线段ab的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kab.再练一题2椭圆1(ab0)的离心率为，且椭圆与直线x2y80相交于p，q，且|pq|，求椭圆的方程. 【导学号：25650055】【解】e，b2a2.椭圆方程为x24y2a2.与x2y80联立消去y，得2x216x64a20，由0得a232，由弦长公式得10642(64a2)a236，b29.椭圆的方程为1.探究共研型椭圆中的最值(或范围)问题探究在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？【提示】(1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围(2)解决椭圆1(ab0)中的范围问题常用的关系有axa，byb；离心率0e1；一元二次方程有解，则判别式0.已知椭圆c：x22y24.(1)求椭圆c的离心率；(2)设o为原点，若点a在直线y2上，点b在椭圆c上，且oaob，求线段ab长度的最小值【精彩点拨】(2)中，设a，b坐标0|ab|化为关于x1的函数求最值【自主解答】(1)由题意，椭圆c的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆c的离心率e.(2)设点a，b的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为oaob，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|ab|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(01 bm1且m3cm3 dm0且m3【解析】由得(m3)x24mxm0.由0且m3，得m1且m3，又m0，m1且m3.【答案】b3椭圆1截直线yx所得弦长为_【解析】联立两方程得代入得3x24，x.代入得或两交点坐标为a，b，弦长|ab|.【答案】4若过椭圆1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_. 【导学号：25650057】【解析】设弦两端点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则1，1，两式相减并把x1x24，y1y22代入得，所求直线方程为y1(x2)，即x2y40.【答案】x2y405如图215，已知斜率为1的直线l过椭圆1的下焦点，交椭圆于