高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课堂探究 新人教B版选修1-1.doc

2.1.1 椭圆及其标准方程课堂探究探究一 利用椭圆的定义解题椭圆的定义具有双向作用，即若|mf1|mf2|2a(2a|f1f2|)，则点m的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点m到两焦点的距离之和必为2a.椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应首先考虑是否能够利用椭圆的定义求解【典型例题1】 设f1，f2为椭圆1的两个焦点，p为椭圆上的一点，pf1pf2，且|pf1|pf2|，求的值思路分析：利用椭圆的定义，结合直角三角形的三边关系即可求出|pf1|，|pf2|的值解：因为pf1pf2，所以f1pf2为直角，则|f1f2|2|pf1|2|pf2|2.所以有解得|pf1|4，|pf2|2，所以2.探究二 求椭圆的标准方程解决求椭圆的标准方程问题主要是“定位”与“定量”：“定位”是要确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解【典型例题2】 求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过点(0,2)和(1,0)；(3)经过点p(2，1)，q(，2)思路分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，要注意“定位”与“定量”解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)所以2a10.所以a5，所以a225.又c4，所以b2a2c225169.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以所以所求椭圆的标准方程为x21.(3)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，因为点p(2，1)，q(，2)在椭圆上，所以解得所以所求椭圆的标准方程为1.点评：已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0，且mn)的形式有两个优点：(1)列出的方程组中分母不含字母；(2)不用讨论焦点所在的坐标轴探究三 求与椭圆有关的轨迹方程求与椭圆有关的轨迹方程常用两种方法：(1)定义法，即依据条件确定动点满足的几何等式，联想椭圆的定义来确定(2)代入法，即当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，可选用代入法求轨迹方程【典型例题3】 如图，已知圆a：(x3)2y2100，圆a内一定点b(3,0)，圆p过点b且与圆a内切，求圆心p的轨迹方程思路分析：根据两圆内切的特点，得出|pa|pb|10.由于点a的坐标为(3,0)，点b的坐标为(3,0)，所以点p的轨迹方程是以a，b为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点p的轨迹方程的问题转化成了求a2，b2的问题解：设|pb|r.因为圆p与圆a内切，圆a的半径为10，所以两圆的圆心距|pa|10r，即|pa|pb|10(大于|ab|)所以点p的轨迹是以a，b为焦点的椭圆所以2a10,2c|ab|6，所以a5，c3.所以b2a2c225916，即点p的轨迹方程为1.探究四易错辨析易错点对椭圆的标准方程认识不清【典型例题4】 若方程1表示椭圆，求k的取值范围错解：由