高中数学 第二章 函数 2.4 函数与方程学案 新人教B版必修1.doc

2.4 函数与方程预习导航课程目标学习脉络1.了解函数零点的定义，并会求简单函数的零点2掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法3了解函数的零点与方程根的联系，能根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解.1函数的零点(1)定义：一般地，如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点(2)性质：当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号思考1如何正确认识零点？提示：函数yf(x)的零点是个实数，在函数图象上应该是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，虽称为“点”，但不是一个点2二次函数的零点与对应二次方程的实根个数之间的关系思考2二次函数没有零点的等价说法是什么？提示：二次函数f(x)ax2bxc(a0)，当b24ac0时，函数yf(x)没有零点，则函数yf(x)的图象与x轴没有交点思考3二次函数的零点最多只有两个吗？所有的二次函数都有零点吗？提示：二次函数的零点最多只有两个，因为二次函数对应的一元二次方程最多只有两个根并不是所有的二次函数都有零点，这是因为不是所有的一元二次方程都有实数根，如函数yx22x2就没有零点3零点存在的判断方法及分类(1)零点存在的判断方法：如果函数yf(x)在一个区间a，b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0(a，b)，使f(x0)0.(2)分类：思考4对于函数f(x)，若满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内一定有零点吗？若f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0一定成立吗？提示：对于函数f(x)，若满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内不一定有零点，如图(1)所示；若函数f(x)在区间(a，b)内有零点，则不一定有f(a)f(b)0，如图(2)所示4求函数零点的近似值的一种计算方法二分法(1)二分法的定义：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)“二分法”求函数零点的一般步骤：已知函数yf(x)定义在区间d上，求它在d上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度用二分法求函数零点的一般步骤：在d内取一个闭区间a0，b0d，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)f(b0)0，零点位于区间a0，b0中取区间a0，b0的中点，则此中点对应的坐标为x0(a0b0)计算f(x0)和f(a0)，并判断：如果f(x0)0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间a0，x0中，令a1a0，b1x0；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x0，b0中，令a1x0，b1b0.取区间a1，b1的中点，则此中点对应的坐标为x1(a1b1)计算f(x1)和f(a1)，并判断：如果f(x1)0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间a1，x1上，令a2a1，b2x1；如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间x1，b1上，令a2x1，b2b1；继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当区间的长度bnan不大于给定的精确度时，这个区间an，bn中的任何一个数都可以作为函数yf(x)的近似零点，计算终止思考5用二分法能求函数f(x)(x3)2的零点的近似值吗？提示：不能二分法是用来解决在闭区间上连续，且两端点函数值异号的函数的零点近似值的方法