高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质课后导练 新人教B版选修2-1.doc

2.4.2 抛物线的简单几何性质课后导练基础达标1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0)，则（ ）a.直线与抛物线有一个公共点 b.直线与抛物线有两个公共点c.直线与抛物线有一个或两个公共点 d.直线与抛物线可能没有公共点答案：c2.抛物线x2=-4y的通径为ab，o为抛物线的顶点，则（ ）a.通径长为8，aob的面积为4 b.通径长为-4，aob的面积为2c.通径长为4，aob的面积为4 d.通径长为4，aob的面积为2答案：d3.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于a、b两点,若线段ab中点的横坐标为2,则|ab|等于( )a.217 b.17 c.215 d.15答案：c4.等腰直角三角形aob内接于抛物线y2=2px(p0)，o为抛物线的顶点，oaob，则aob的面积是（ ）a.8p2 b.4p2 c.2p2 d.p2 答案：b5.过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45的直线,则被抛物线截得的弦长为( )a.8 b.16 c.32 d.64答案：b6.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点q,若过点q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是_.答案：-1k17.已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是_.答案：3 8.28.抛物线y2=4x的弦ab垂直于x轴，若|ab|=43，则焦点到ab的距离为_.9.已知抛物线y2=6x，过点p（4，1）引一弦，使它恰在点p被平分，求这条弦所在的直线方程.解法一:设直线上任意一点坐标为(x,y)，弦的两个端点为p1(x1,y1)、p2（x2,y2）.p1、p2在抛物线上，y12=6x1,y22=6x2.两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2）.y1+y2=2,代入得k=3.直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.解法二:设所求方程为y-1=k(x-4).由方程组得ky2-6y-24k+6=0.设弦的两端点p1、p2的坐标分别是(x1,y1)、（x2,y2），则y1+y2=.12的中点为(4，1),=2.k=3.所求直线方程为y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0.10.设抛物线2（0)的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于a、b两点，点c在抛物线的准线上，且轴,证明直线ac经过原点o.证明:抛物线的焦点为f（,0),经过点f的直线ab的方程可设为x=my+，代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.设a（x1,y1)，b(x2,y2),则y1、y2是该方程的两根，y1y2=-p2.bcx轴，且点c在准线x=-上，点c的坐标为（-,y2).直线oc的斜率为k=,即k也是直线oa的斜率.直线ac经过原点o.综合运用11.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于a、b两点，点c在抛物线的准线上，且bcx轴.求证：直线ac经过原点o.证明:抛物线的焦点为f（,0),经过点f的直线ab的方程可设为x=my+，代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.设a（x1,y1)、b(x2,y2),则y1、y2是该方程的两根，y1y2=-p2.bcx轴，且点c在准线x=-上，点c的坐标为（-,y2).直线oc的斜率为k=,即k也是直线oa的斜率.直线ac经过原点o.12.(2006上海高考，理20) 在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2=2x相交于a、b两点.（1）求证：“如果直线l过点t（3，0），那么oaob=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.解：（1）设l:x=ty+3,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-6=0.设a（x1,y1）,b(x2,y2),y1+y2=2t,y1y2=-6,=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2=-6t2+3t2t+9-6=3.=3,故为真命题.(2)中命题的逆命题是：若=3，则直线l过点（3,0）是假命题.设l:x=ty+b,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-2b=0. 设a（x1,y1）,b(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2b.=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-2bt2+bt2t+b2-2b=b2-2b,令b2-2b=3,得b=3或b=-1.此时直线l过点（3，0）或（-1，0）.故逆命题为假命题.拓展探究13.已知椭圆c1:=1,抛物线c2:(y-m)2=2px(p0),且c1、c2的公共弦ab过椭圆c1的右焦点.(1)当abx轴时,求m,p的值,并判断抛物线c2的焦点是否在直线ab上;（2）若p=且抛物线c2的焦点在直线ab上,求m的值及直线ab的方程.答案：(1)解：当abx轴时,点a、b关于x轴对称.所以m=0,直线ab的方程为x=1,从而点a的坐标为(1,)或(1,-).因为点a在抛物线上,所以=2p,即p=.此时c2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线ab上.（2）解法一:如右图，当c2的焦点在ab上时,由(1)知直线ab的斜率存在,设直线ab的方程为y=k(x-1).由消去y得（3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设a、b的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则x1、x2是方程的两根,x1+x2=.因为ab既是过c1的右焦点的弦,又是过c2的焦点的弦,所以|ab|=(2-x1)+(2-x2)=4-(x1+x2),且|ab|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=x1+x2+.从而x1+x2+=4-(x1+x2），所以x1+x2=,即.解得k2=6,即k=.因为c2的焦点f(,m)在直线y=k(x-1)上,所以m=-k,即m=或m=-.当m=时,直线ab的方程为y=-(x-1);当m=-时,直线ab的方程为y=(x-1).解法二:当c2的焦点在ab上时,由(1)知直线ab的斜率存在,设直线ab的方程为y=k(x-1).由消去y得(kx-k-m)2=x.因为c2的焦点f(,m)在y=k(x-1)上,所以m=k(-1),即m=-k.代入有(kx)2=x,即k2x2-(k2+2)x+=0.设a、b的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则x1、x2是方程的两根,x1+x2=.由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.由于x1、x2也是方程的两根,所以x1+x2=.从而,解得k2=6,即k=.因为c2的焦点f(,m)在直线y=k(x-1)上,所以m=-k,即m=或m=-.当m=时,直线ab的方程为y=-(x-1);当m=-时,直线ab的方程为y=(x-1).解法三:设a、b的坐标分别为(x1,y1)、(x2、y2),因为ab既过c1的右焦点f(1,0),又过c2的焦点f(,m),所以|ab|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=(2-x1)+(2-x2),即x1+x2=（4-p)=.