高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课堂导学案 新人教B版必修4.doc_第1页
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2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课堂导学三点剖析 一、平面向量的数量积关于向量的数量积,注意:(1)我们不说两个向量的积,而说是它们的数量积或者内积;(2)规定:零向量与任一向量的数量积为0;(3)两个向量的数量积是一个数量,向量a、b的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关;(4)向量的数量积的结果是一个数量,可以等于正数、负数、零,而向量的加法和减法的结果还是一个向量;(5)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,当中的“”不能省略;(6)当a,b为锐角时,ab0;当a,b为直角时,ab=0;当a,b为钝角时,ab0,则abc是( )a.锐角三角形 b.直角三角形c.钝角三角形 d.不能确定解析:由两向量夹角的概念,a与b的夹角应为180-b.因为ab=|a|b|cos(180-b)=-|a|b|cosb0,所以cosb0得cosb0,进而得角b为锐角,从而无法确定,错选d. 三、向量在轴上的投影这部分内容要注意:(1)已知向量a和轴l(如图所示),作=a,过点o、a分别作轴l的垂线,垂足分别为o1、a1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影).(2)a在轴l上的正射影,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量,记作a,a=|a|cos.(3)射影的坐标是数量,当为锐角时,a为正值;当为钝角时,a为负值;当=0时,a=|a|;当=时,a=-|a|.【例3】 已知轴l,如图:(1)向量|=5,l=60,求在l上的正射影oal;(2)向量|=5,l=120,求在l上的正射影obl.思路分析：向量a在轴l上的正射影为al=|a|cos.解:(1)oal=5cos60=5=,(2)obl=5cos120=5(-)=.类题演练 3设a,b是两非零向量，是a在b方向上的投影，是b在a方向上的投影，若a与b的夹角为钝角，则（ ）a.=0 b.=0c.、(-,0) d.、（0，+）解析：=|a|cos,=|b|cos,为钝角，0,0.而|a|与|b|不一定相等，故选c.答案：c变式提升 3已知|a|=3,|b|=5,且ab=12,则向量a在向量b上的投影为( )a. b.3 c.4 d.5解析:由已知|a|=3,|b|=5,且ab=12,又ab=|a|b|cos,所以cos=.而a在b上投影为|a|cos=3,故选a
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