高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义学案 新人教B版必修4.doc

2.3.1向量数量积的物理背景与定义基础知识基本能力1理解平面向量数量积的含义、物理意义及其几何意义(重点)2掌握向量数量积的运算性质(重点、难点)1能识别平面向量的数量积与向量投影的关系(易错点)2能正确地利用数量积的运算性质解决与长度、夹角、垂直等有关的问题(重点、难点)1两个向量的夹角已知两个非零向量a，b(如下图所示)，作a，b，则aob称作向量a和向量b的夹角，记作a，b，并规定0a，b，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了， 并且有a，bb，a当a，b时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作ab.规定零向量与任意向量垂直【自主测试1】在等腰rtabc中，c90，则，_，_.答案：901352向量在轴上的正射影(1)已知向量a和轴l(如下图所示)，作a，过点o，a分别作轴l的垂线，垂足分别为o1，a1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量，记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则有al|a|cos .(2)当为锐角时，al0；当为钝角时，al0；当0时，al|a|；当时，al|a|.名师点拨向量a在轴l上的正射影是向量a在轴l上的分向量；向量a在轴l上的数量是其正射影在轴l上的坐标，与向量a和轴l所成的角有关【自主测试2】已知|p|2，|q|3，且p与q的夹角为120，则向量p在向量q方向上的数量为_；向量q在向量p方向上的数量为_解析：向量p在向量q方向上的数量为|p|cos 2cos 1201.同理，向量q在向量p方向上的数量为|q|cos 3cos 120.答案：13向量的数量积(内积)(1)定义：|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)理解：两个向量的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零【自主测试3】若|a|3，|b|4，a，b的夹角为135，则ab等于()a3 b6 c6 d12解析：ab|a|b|cos 135346.答案：b4向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，e是单位向量，则有：(1)aeea|a|cosa，e；(2)ab ab0，且ab0ab；(3)aa|a|2或|a|；(4)cosa，b(|a|b|0)；(5)|ab|a|b|.【自主测试41】若mn0，则m与n的夹角的取值范围是()a bc d答案：c【自主测试42】若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为60，则aaab等于()a b c d2解析：aaab|a|2|a|b|cos 601.答案：b向量的数量积与实数的乘法的区别剖析：(1)如果两个数a，b满足ab0，则a与b中至少有一个为0.而ab0可推导出以下四种可能：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(2)对于数量，有实数a，b，c满足abac，且a0bc.但对于向量，这种推理不正确，即abac，且a0推不出bc.例如，|a|1，|b|，|c|，a与b的夹角为，a与c的夹角为0，显然abac，但bc.(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，不可混淆知识拓展(1)两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关当090时，ab0；当90时，ab0；当90180时，ab0.(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的数量|b|cos 的乘积知道了数量积的几何意义，可以帮助大家正确认识向量的数量积如：当a0时，由ab0不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有ab0.题型一 求平面向量的数量积【例题1】已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积分析：解答本题可利用平面向量数量积的定义直接运算解：(1)ab，若a与b同向，则a与b的夹角0，ab|a|b|cos 04520；若a与b反向，则a与b的夹角180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)当ab时，a与b的夹角90，ab|a|b|cos 900.(3)当a与b的夹角为60时，ab|a|b|cos 604510.反思(1)求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0180；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos .要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去(2)非零向量a和b，abab0.(3)非零向量a与b共线的充要条件是ab|a|b|.题型二 求平面向量的夹角【例题2】已知a，b是两个非零向量(1)若|a|3，|b|4，|ab|6，求a与b的夹角；(2)若|a|b|ab|，求a与ab的夹角分析：利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解解：(1)ab|a|b|cosa，b，|ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b|6.又|a|3，|b|4，|cosa，b|，cosa，b.a，b0，a与b的夹角为或.(2)如图所示，在平面内取一点o，作a，b，以，为邻边作平行四边形oacb，使|，四边形oacb为菱形，oc平分aob，这时ab，ab，由于|a|b|ab|，即|，aob，aocaob，即a与ab的夹角为.反思求向量的夹角应用数量积的变形公式cos ，一般要求两个整体ab，|a|b|，不方便求出时，可寻求两者之间的关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观题型三 求平面向量的模【例题3】已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a，b120，求向量b的模分析：利用向量数量积的公式及根与系数的关系求解解：a24，|a|24，|a|2.把x1代入方程x2|a|xab0，得1|a|ab0，ab3，则ab|a|b|cosa，b2|b|cos 1203，解得|b|3.反思利用向量的数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法，主要利用b2bb|b|2或|b|.题型四 易错辨析【例题4】已知|a|3，|b|4，且a，b60，试求a在b方向上正射影的数量错解：根据正射影的定义可知所求数量为ab，即ab|a|b|cos 606.错因分析：把ab错误地理解成了a在b方向上正射影的数量，其实只有ae才表示a在e方向上正射影的数量正解：根据正射影的定义，可知所求的数量为|a|cos 603.【例题5】已知在abc中，bca5，acb8，acb60，求c.错解：如图，因为|a5，|b8，acb60，所以|cosacb58cos 6020.错因分析：对向量的夹角理解有误，其实与的夹角应为120.正解：因为|a5，|b8，180acb18060120，所以|cos，58cos 12020.1在abc中，若c90，acbc4，则等于()a16 b8 c16 d8解析：c90，acbc4，abc为等腰直角三角形，ba4，abc45.44cos 4516.答案：a2已知ab12，|a|4，a，b135，则|b|()a12 b3 c6 d3解析：ab|a|b|cosa，b12，|b|6.答案：c3在abc中，0，则abc是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d等边三角形解析：|cos a0，cos a0.a是钝角abc是钝角三角形答案：c4(2012广东揭阳测试)如图，已知abcdef是边长为1的正六边形，则()的值为()a1 b1c d0解析：()()