高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线破题致胜复习检测 新人教A版选修2-1.docVIP

2.3 抛物线复习指导考点一：抛物线的标准方程及几何性质1涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性2求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题3抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，则：(1) ；(2)若直线的倾斜角为，则；(3)若f为抛物线焦点，则有. “看到准线想焦点，看到焦点想准线”，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.4直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.解题指导：1在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p0恰恰说明定义中的焦点f不在准线 上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.抛物线中的四个圆 抛物线焦点弦相关的一个角平分性质 点与抛物线的位置关系 几何法求抛物线上的点到定直线的距离最值 例题1. 已知直线l过抛物线c的焦点,且与c的对称轴垂直,l与c交于a,b两点,|ab|=12,p为c的准线上一点,则abp的面积为( )a.18 b.24 c.36 d.48 【答案】c例题2. 已知抛物线,过其焦点且斜率为l的直线交抛物线于a,b两点,若线段ab的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )a.x=1 b.x=1 c.x=2 d.x=2 【答案】b例题3. 已知抛物线c: 过点a(1,2)()求抛物线c的方程,并求其准线方程;()是否存在平行于oa(o为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线c有公共点,且直线oa与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由 【答案】() 抛物线c的方程为，其准线方程为()见解析例题4.已知m是非零实数,抛物线c: 的焦点f在直线l:上.()若m=2,求抛物线c的方程;()设直线l与抛物线c交于a,b两点,过a,b分别作抛物线c的准线的垂线,垂足为a1,b1,aa1f,bb1f的重心分别为g,h.求证:对任意非零实数m,抛物线c的准线与x轴的交点在以线段gh为直径的圆外. 【答案】()()求证过程见解析巩固练习一、单选题1过点的直线与抛物线相交于两点，且，则点到原点的距离为 （ ）a. b. c. d. 2已知抛物线 上有一条长为的动弦，则弦的中点到轴的最短距离为 （ ）a. b. c. d. 3过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则 （ ）a. b. c. d. 4已知抛物线，直线过抛物线焦点，且与抛物线交于， 两点，以线段为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ）a. 相离 b. 相交 c. 相切 d. 不确定5抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）a. b. c. 1 d. 6已知点， ， ， ， ， 是抛物线（）上的点， 是抛物线的焦点，若，且，则抛物线的方程为（ ）a. b. c. d. 7已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）a. b. c. d. 二、填空题8已知为抛物线上一个动点，定点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和的最小值是_9已知为坐标原点， 为抛物线的焦点，若抛物线与直线在第一、四象限分别交于两点，则的值为_10已知m是抛物线x2=4y上一点，f为其焦点，点a在圆c:x+12+y-52=1上，则ma+mf的最小值是_.三、解答题11如图，抛物线c:y2=2px的焦点为f，抛物线上一定点q(1,2).（1）求抛物线c的方程及准线i的方程；（2）过焦点f的直线（不经过点q）与抛物线交于a,b两点，与准线i交于点m，记qa,qb,qm的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数，使得k1+k2=k3成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.12已知抛物线c1：y2=4x和c2：x2=2py (p0)的焦点分别为f1,f2，c1,c2交于o,a两点（o为坐标原点），且f1f2 oa.（1）求抛物线c2的方程；（2）过点o的直线交c1的下半部分于点m，交c2的左半部分于点n，点p坐标为(-1,-1)，求pmn面积的最小值.13已知抛物线和直线， 为坐标原点 (1)求证： 与必有两交点； (2)设与交于两点，且直线和斜率之和为，求的值14已知抛物线.(1)设点的坐标为，求抛物线上距离点a最近的点p的坐标及相应的距离；(2)在抛物线上求一点p，使p到直线的距离最短，并求出距离的最小值15在平面直角坐标系中， 是抛物线的焦点， 是抛物线上的任意一点，当位于第一象限内时， 外接圆的圆心到抛物线准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过的直线交抛物线于两点，且，点为轴上一点，且，求点的横坐标的取值范围.参考答案与解析1d【解析】设，过a,b两点分别作直线的垂线，垂足分别为d,e。，。由抛物线的定义得，又，解得。2c3a【解析】 如图，过a，b分别作准线的垂线，垂足分别为，设。得，所以，整理得。4c【解析】取ab的中点m,分别过a,b,m作准线的垂线ap,bq,mn,垂足分别为p,q,n,如图所示,由抛物线的定义可知, ,在直角梯形apqb中, ,故圆心m到准线的距离等于半径,所以以ab为直径的圆与抛物线的准线相切,5b6b【解析】依题意，由抛物线定义可知， ，故，故抛物线的方程为.7d【解析】根据抛物线的定义p到焦点的距离等于p到准线的距离，所以点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和最小，只需点到点的距离与点p到准线的距离之和最小，过点作准线的垂线，交抛物线于点p，此时距离之和最小，点p的坐标为.8【解析】 由抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点的焦点的距离，设点到抛物线的准线的距离为，所以，可得当三点共线时，点到点的距离与点到准线的距离之和最小， 所以最小值为.9【解析】直线过焦点，则，所以， 所以。105【解析】抛物线准线为l：y=-1 ，ma+mf =ma+da-ldc-l-r=5+1-1=5 11(1) 抛物线方程为y2=4x,准线l的方程为x=-1. (2) 存在常数=2,使得k1+k2=2k3成立【解析】由y=kx-1y2=4x消去y整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,显然=4(k2+2)2-4k4=16(k2+1)0，设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1，又q(1,2),则k1=2-y11-x1,k1=2-y21-x2。 因为a,f,b三点共线,所以kaf=kbf=k，即y1x1-1=y2x2-1=k,所以k1+k2=2(k+1),即存在常数=2,使得k1+k2=2k3成立. 12(1)x2=4y；(2)8.【解析】解得py1=2x1，将其代入式解得x1=4,y1=4，从而求得p=2，所以c2的方程为x2=4y.（2）联立y=kxy2=4x得m(4k2,4k)，联立y=kxx2=4y得n(4k,4k2)(k0)，从而|mn|=1+k2|4k2-4k|=1+k2(4k2-4k)，点p(-1,-1)到直线mn的距离d=|k-1|1+k2，进而spmn=12|k-1|1+k21+k2(4k2-4k) =2(1-k)(1-k3)k2=2(1-k)2(1+k+k2)k2=2(k+1k-2)(k+1k+1)令t=k+1k(t-2)，有spmn=2(t-2)(t+1)，当t=-2，即k=-1时，即当过原点直线为y=-x时，pmn面积取得最小值8.13（1）见解析；（2）