高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示优化训练 北师大版必修4.doc

2.6 平面向量数量积的坐标表示5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知向量a=（-4，7），向量b=（5，2），则ab的值是( )a.34 b.27 c.-43 d.-6解析：ab=-45+72=-6.答案：d2.(高考福建卷,文14)在abc中，a=90，=(k,1),=(2,3),则k的值是_.解析：由与垂直，列出关于k的方程，解方程即可.a=90，.=2k+3=0.k=.答案：3.已知向量a与b同向，b=(1,2),ab=10.(1)求向量a的坐标； （2）若c=(2,-1)，求(bc)a.解：(1)向量a与b同向，b=(1,2),a=b=(,2).又ab=10，有+4=10.解得=20.符合向量a与b同向的条件，a=(2,4).(2)bc=12+2(-1)=0,(bc)a=0.4.求向量a=(1,2)在向量b=(2,-2)方向上的投影.解：设a与b的夹角为，则cos=.a在b方向上的投影为|a|cos=.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知平面上直线l的方向向量e=(,)，点o(0,0)和a(1,-2)在l上的射影分别是o1、a1，则=e，其中等于( )a. b.- c.2 d.-2解析：将所给坐标代入公式=|cose,，或利用特殊值.方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知=|cose,=.方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点，故与e方向相反.排除a、c，检验b、d可知d正确.答案：d2.若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180，且|b|=，则b等于( )a.(-3，6) b.(3，-6) c.(6，-3) d.(-6，3)解析：由题意b与a共线，方法一：设b=(-1,2),且0,有(-)2+(2)2=()2b=(-3,6).方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反，故可由方向相反排除b、c.由共线可知b=-3a.答案：a3.已知向量a=(cos,sin)，向量b=(,-1），则|2a-b|的最大值和最小值分别是( )a.,0 b.4, c.16，0 d.4，0解析：ab=2sin(-),|2a-b|=,|2a-b|的最大值为4，最小值为0.答案：d4.a、b、c、d四点的坐标依次是(-1，0)、(0，2)、(4，3)、(3，1)，则四边形abcd为（ ）a.正方形 b.矩形 c.菱形 d.平行四边形解析：=(1,2),=(1,2),=.又线段ab与线段dc无公共点，abdc且|ab|=|dc|.四边形abcd为平行四边形.又|ab|=，|bc|=，|ab|bc|.平行四边形abcd不是菱形也不是正方形.又=4+2=60，ab与bc不垂直.平行四边形abcd不是矩形.答案：d5.已知|a|=,b=(-2,3)且ab,则a的坐标为_.解析：设a=(x,y)，则x2+y2=52.由ab得-2x+3y=0.由以上两个条件得答案：(6，4)或(-6，-4)6.已知a、b、c、d四点的坐标分别为a(1,0)、b(4,3)、c(2,4)、d(m,n).当m、n满足什么条件时，四边形abcd分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(a、b、c、d按逆时针方向排列)?解：由条件知=(3,3),=(-2,1),=(m-1,n),=(2-m,4-n).（1）若四边形abcd为平行四边形，则=，(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1.当m=-1,n=1时，四边形abcd为平行四边形.（2）当m=-1,n=1时，=(3,3),=(-2,1).则|=,|=,|.因此，使四边形abcd为菱形的m、n不存在.（3）当m=-1,n=1时，=(3,3)(-2,1)=-30，即ab、ad不垂直.因此使四边形abcd为矩形的m、n不存在.(4)由(2)(3)知，使四边形abcd为正方形的m、n不存在.(5)若四边形abcd为梯形，则=或=，其中为实数，且0,1.(0,1)或(0,1).整理得m、n的取值条件为n=m+2(m2,m-1)或n=(m1,m-1).30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列各向量中，与e=（3，2）垂直的向量是( )a.a=（3，-2） b.b=（0，0）c.c=（-4，6） d.d=（-3，2）解析：3（-4）+26=0，故选c.答案：c2.已知向量a=（2，1），b=（3，x），若（2a-b）b，则x的值是( )a.3 b.-1 c.-1或3 d.-3或1解析：（2a-b）b，（2a-b）b=2ab-b2=223+21x-32-x2=0.整理，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3.答案：c3.a、b、c为平面内不共线的三点，若向量=（1，1），n=（1，-1）且n=2，则n等于( )a.-2 b.2 c.-2或2 d.0解析：=-，n=n（-）=n-n=2-（11-11）=2.答案：b4.已知a=（，2），b=（-3，5），且a和b的夹角为钝角，则的取值范围是( )a. b. c. d.解析：a和b的夹角为钝角，ab0，即-3+100，.答案：c5.已知o为原点，点a、b的坐标分别为（a，0）、（0，a）.其中常数a0，点p在线段ab上，且=t（0t1），则的最大值为( )a.a b.2a c.3a d.a2解析：由=t，可得-=t-t，故=t+(1-t) =t(0,a)+(1-t)(a,0)=(0,at)+(a-at,0)=(a-at,at).=-a2t+a2,故当t=0时，的最大值为a2.答案：d6.若将向量=（，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则向量的坐标为_.解析：设出的坐标，然后用|=|和、的夹角为，即cos=建立坐标的方程组，但较麻烦.注意到与x轴的正方向所成的角为，再逆时针旋转，故与x轴正方向所成的角为，故可采用几何法求点b的坐标.另外若注意到a、b关于直线y=x对称，则得到b点坐标.由分析易知的坐标为（1，）.答案：（1，）7.直角三角形abc中，=（2，3），=（1，k），求实数k的值.解：（1）当a=90时，易知=0，即2+3k=0，k=.（2）当b=90时，=-=（-1，k-3），易知=0，即k=.（3）当c=90时，=-1+k2-3k=0，k=.综上可知，k的值为或或.8.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1与e2的夹角为60，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解：e12=4，e22=1，e1e2=21cos60，（2te1+7e2）（e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1e2+7te22=2t2+15t+7.2t2+15t+70.-7t.设2te1+7e2=（e1+te2）（0），则2t=，且7=t，2t2=7.t=，=.t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为，t的取值范围是（-7，）（，）.9.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）.（1）若|c|=，且ca，求c的坐标；（2）若|b|=，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角.（1）解法一：设c=（x，y）.|c|=，即x2+y2=20. 又ca，2x-y=0. 由可得解法二：ca，故可设c=a，则|=2.=2.故向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.（2）解：a=（1，2），|a|=.又|b|=，故|a|b|=.又（a+2b）（2a-b），（a+2b）（2a-b）=0，即2a2+3ab-2b2=0.25+3ab-2=0，ab=.cos=-1.又0，=，即a与b的夹角为.10.求与向量a=（，-1）和b=（1，）的夹角相等且模为的向量c的坐标.解法一：设c=（x，y）.|c|=，x2+y2=2. 又a与c的夹角与b与c的夹角相等，即（-1）x=（+1）y. 联立解得解法二：|a|=|b|=2，由向量加法的平行四边形法则，知a+b就与a、b夹角相等，故（a+b）c.又|a+b|=，故c=（a+b）=（+1，-1）.向量c的坐标为（+,）或(+,).11.已知a=（cos，sin），b=（cos，sin），且a与b之间满足|ka+b|=3|a-kb|，其中k0.（1）用k表示ab；（2）若a与b