高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件课堂导学案 新人教B版必修4.doc

2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件课堂导学三点剖析 一、两向量共线的判断 利用a=b和坐标表示x1y2-x2y1=0来判断.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线的条件是a=b;用坐标表示可写为(x1,y1)=(x2,y2),即消去后得x1y2-x2y1=0,也就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b0)共线.【例1】 判断下列向量a与b是否平行:(1)a=(,),b=(-2,-3);(2)a=(0.5,4),b=(-8,64);(3)a=(2,3),b=(3,4);(4)a=(2,3),b=(,2).思路分析：设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则aba1b2-a2b1=0.解：(1)(-3)-(-2)=+=0,ab. (2)0.564-4(-8)=32+32=640,ab.(3)24-33=8-9=-10,ab.(4)22-3()=4+4=80,ab.温馨提示由于a20,b20,因此也可以这样判定:(1),ab.(2),.ab.(3),ab.(4),ab.各个击破类题演练 1已知a(-2,-3),b(2,1),c(1,4),d(-7,-4),判断与是否共线?思路分析:判断两个向量是否共线,可直接利用坐标形式的条件x1y2-x2y1=0来判断.解:=(2,1)-(-2,-3)=(4,4),=(-7,-4)-(1,4)=(-8,-8),4(-8)-4(-8)=0,即和共线.变式提升 1a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数使ka+b=(a-3b),由(k-3,2k+2)=(10,-4),得解得k=-.当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-a+b=-(a-3b).=-0,ka+b与a-3b反向.解法二:由解法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),ka+b与a-3b平行,(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-,此时ka+b=(-3,+2)=-(a-3b).当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向. 二、坐标法证三点共线问题证明三点共线(或两直线平行、重合)(1)证明两直线平行,可通过证这两直线上的两向量共线,且无公共点.(2)证明三点共线,可通过证由这三点构成的两个向量共线,且有公共点.(3)证三点共线常见的方法还有:证得两条较短的线段之和等于第三条线段的长度,以及利用斜率或直线方程,证明三点为顶点的三角形面积为零等.【例2】 如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使a、b、c三点共线.思路分析：只需根据向量共线的条件，解关于m的方程即可.解法一:a、b、c三点共线即、共线，存在实数使=,即i-2j=(i+mj).m=-2.m=-2时，a、b、c三点共线.解法二：依题意知：i=（1，0），j=（0，1），=（1，0）-2（0，1）=（1，-2），=（1，0）+m(0,1)=(1,m).而，共线，1m+2=0.m=-2.故当m=-2时，a、b、c三点共线.温馨提示 向量共线的几何表示与代数表示形式不同，但实质一样，在解决具体问题时要注意选择使用.类题演练 2向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,a、b、c三点共线?解:=-=(k,12)-(4,5)=(k-4,7),=-=(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k),a、b、c三点共线,即(k-4)(12-k)-(k-10)7=0,整理,得k2-9k-22=0,解得k1=-2或k2=11,当k=-2或11时,a、b、c三点共线.变式提升 2证明下列各组点共线:(1)a(1,2),b(-3,-4),c(2,3.5);(2)p(-1,2),q(0.5,0),r(5,-6).证明:(1)=(-3,-4)-(1,2)=(-3-1,-4-2)=(-4,-6),=(2,3.5)-(-3,-4)=(2+3,3.5+4)=(5,7.5).-47.5-(-6)5=0(或),.又、有公共点b,a、b、c三点共线.(2)=(0.5,0)-(-1,2)=(0.5+1,0-2)=(1.5,-2),=(5,-6)-(0.5,0)=(5-0.5,-6-0)=(4.5,-6),1.5(-6)-(-2)4.5=-9+9=0(或).又、有公共点q,p、q、r三点共线. 三、向量共线的坐标应用 平面向量共线的坐标表示常应用于:(1)求点的坐标;(2)确定参数的值(比值);(3)平面几何中的证明问题.向量共线的坐标表示与几何表示形式不同但实质一样,在解决问题时要不拘泥于形式,灵活运用.【例3】 平面内给定三个向量a=（3，2），b=（-1，2），c=(4,1).(1)求3a+b-2c；（2）求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若a+kc（2b-a），求实数k；（4）设d=（x,y）满足（d-c）（a+b）且|d-c|=1,求d.思路分析：对于（1），可直接用坐标运算得出结果.对于（2），可将向量相等转化为关于坐标的方程组.对于（3）（4）,都可运用向量平行的条件，将其转化为关于坐标的等式求解.解:（1）3a+b-2c=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）.（2）a=mb+nc，（3，2）=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n,2m+n).(3)(a+kc）（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0.k=.(4)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,解之，得d=()或d=().类题演练 3已知a0,b0,且ab,求证:a+ba-b.证明:令a=(x1,y1),b=(x2,y2),a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),假设a+ba-b,则(x1+x2)(y1-y2)-(y1+y2)(x1-x2)=0,即x1y1+x2y1-x1y2-x2y2-x1y1-x1