高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法课堂探究 新人教B版选修2-2.doc

高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法课堂探究 新人教b版选修2-2探究一 综合法的应用1用综合法证明问题的一般步骤：(1)分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法(2)转化条件，组织过程把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路(3)适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取2用综合法证明不等式时，要注意不等式性质，均值不等式等的应用，证明三角恒等式时要注意三角函数公式、正弦定理、余弦定理等的应用【典型例题1】 已知a，b，c(0，)且abc3，求证：a2b2c23.思路分析：从已知和欲证的两个式子间的关系入手可考虑先将已知式两边平方，然后再运用均值不等式证明证明：因为abc3，所以(abc)29，即a2b2c22(abbcca)9.又因为a，b，c(0，)，所以a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，于是2(abbcca)2(a2b2c2)，所以a2b2c22(a2b2c2)a2b2c22(abbcca)9，故a2b2c23.【典型例题2】 在abc中，a，b，c对应的边为a，b，c，证明：.思路分析：考虑到要证明的等式中含有边和角，可用正弦和余弦定理进行转化，再结合相关的三角公式证明证明：由余弦定理知a2b2c22bccos a，所以a2b2c22bccos a，所以左边1.又由正弦定理知，所以左边12cos a右边，故原等式成立探究二 分析法的应用1从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证这正是分析法证明问题的一般思路2一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法3用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语【典型例题3】 已知函数f(x)x23，若ab0，求证：f.思路分析：由于已知条件和欲证结论之间的关系不明确，考虑用分析法证明证明：要证明f，即证(a23)(b23)23，只需证a2b266，只需证a2b2，因此只需证2a22b2a22abb2，即证a2b22ab，只需证(ab)20，由于ab0，所以(ab)20显然成立，故原不等式成立【典型例题4】 已知，k(kz)，且4sin22sin21.求证：.思路分析：由于要证的等式较为复杂，而已知条件信息较少，所以可从要证的等式出发，利用分析法证明证明：要证，只需证，只需证，只需证cos2sin2(cos2sin2)，只需证12sin2(12sin2)，即证4sin22sin21.由于已知4sin22sin21成立，所以原等式成立探究三 综合法与分析法的综合应用1有些数学问题的证明，需要把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论p.若由p可以推出q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头凑法”2在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程【典型例题5】 在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1)思路分析：前半部分从已知出发采用综合法得到a，b，c之间的关系式，后半部分用分析法反推，然后再与该关系式结合，找到使结论成立的充分条件即可证明：由已知得x，y，即xy，从而2a.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证a1，即证a1，也就是证2abc.因为2a，则只需证bc成立即可，即b3c3(bc)(b2bcc2)(bc)bc，即证b2c2bcbc，即证(bc)20成立上式显