高中数学 第二章 参数方程 2.2 直线和圆锥曲线的参数方程 直线参数方程及其应用素材 北师大版选修4-4.doc

2.2 直线参数方程及其应用一、直线参数方程建立课本在p55“向量与直线”阅读材料中，介绍了利用向量法建立直线方程的参数式：(t为参数) （*）,其中(x0,y0)是直线上的一点，(a,b)是直线的一个方向向量,p(x,y)是直线上任意一点，实数t是对应点p的参数.这种直线的参数式方程可直线称为直线参数方程.事实上，我们还可以这样来建立直线的参数方程：因过定点p(x0,y0)且倾斜角为a的直线方程为：yy0(xx0)(0ap,且a),则有：.令其比值为t,于是得：t,t,即有(t为参数) （*）,这也是直线的参数方程.很显然其中参数t还有很好的几何性质，即|t|.为区别于其它形式的参数方程，参数方程（*）我们称为直线的标准参数方程.m 0（x 0，y 0）为定点点，而t表示有向线段m0p的数量，我们规定：当p在m的上方时，t0；而p在m的下方时，t0.通常，当我们将（*）代入二次曲线c的方程能得到：at 2btc0（*）如果 a0，且b 24ac0时，则（*）所表示的直线 l与c相交于a、b两点，且有向线段，的数量是方程（*）的二根t1，t2，即t1m0a，t2m0b. 下面的几个结论是经常用到的：（1）|ab| t1t2|；（2）ab的中点p对应的参数为 t；（3）设p分有向线段ab的比为 ，则p对应的参数为.（4）当 t1，t2满足关系 t1t2时，则(t1t2)2t1t2二直线参数方程应用例1(1)已知直线过点a(2,3),b(1,5),求直线ab的参数方程；(2)直线l过点a(1,5),倾斜角为,求直线l的参数方程.解：(1)直线ab的方向向量为v(1,5)(2,3)(3,8),又因其过点a(2,3)，直线ab的参数方程为.(2)直线l的参数方程为,即.例2若直线参数方程为(t为参数)，求直线的倾斜角.解：由参数方程得：,y2(x1),y2tan160(x1),由此普通方程可知其倾斜角为160.例3(1)直线l过点p(1,2),倾斜角为，求l上与p的距离为2的点；(2)求直线(t为参数)上的点到p(2,3)距离为的点的坐标.解：(1)l的参数方程为,令|t|2,t2,代加原参数方程得所求点为(3,4)或(1,0).(2)可化成普通方程处理，现仍将参数方程整理成标准形式，利用参数的几何意义求解.即有,又直线过定点p0(2,3)，且直线上任一点p对应参数为2t,则有|2t|,2t,当2t时，所求点为(3,4)；当2t时，所求点为(1,2).例4已知过点 p 0（1，2）的直线的参数方程是，求点p 0到另一直线2xy10 的交点p的距离.解：因为51，所以此直线的参数方程不是标准线，令tt，化为标准式，得,将其代入方程2xy10，解得交点p对应的参数值 tp，故|p0p|tp|.例5过点m(2，1)作直线l，交x,y轴的正半轴于a，b两点.(1)求|ma|mb|的最小值；(2)当(1)取最小值时，求直线l的方程.解析：(1)设直线l的倾斜角为q(0qp)，则其方程为(为参数，qp),x,y轴方程为xy=0,代入整理得t2sinqcosq+t(2sinq+cosq)+2=0,ma=t1，mb=t2，即为的两个根，|ma|mb|=|t1|t2|=,当q=时|ma|mb|的最小值为4.(2)a，b为直线l与x,y轴正半轴的交点，q=，将q=代入得,即,消去t,得x+y-3=0即为所求的l的直线方程.例6在已知圆x2y24上有定点a（1,）及动点p、q 且qap，求apq面积的最大值.解：设直线ap的方程为(t为参数)，将其代入x 2y 24，得t22（cosasina）t0，由弦长公式|ap|2（cosasina ）|4|sin（）|，同理可得|aq|4|sin（）|，而2，所以|aq|4|cosa|，故sapq|ap|aq|sin4|sin（）|cosa|4|sincoscossin）|cosa|4|(sincoscos2)|2|sin2cos2|2|sin(2)|当a时，smax3.例7已知圆x2+y2=r2及圆内一点a(a，b)(a，b不同时为零)，求被a平分的弦所在直线方程解：设所求直线的方程为(t为参数)，代入圆的方程x2y2r2，整理得t22(acos