高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式（选学）同步训练 新人教B版必修5.doc

2.1.2 数列的递推公式（选学）5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.判断下列说法哪个是错误的( )a.递推公式也是数列的一种表示方法b.an=an-1(n2)是递推公式c.给出数列的方法只有图象、列表、通项公式d.an=2an-1(n2)是递推公式解析：通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法.an=an-1与an=2an-1，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，所以都是递推公式.答案： c2.已知数列an的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2(n2)给出，则该数列的第5项等于( )a.6 b.7 c.8 d.9解析：a1=1，a2=2,an=an-1+an-2，a3=a2+a1=1+2=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.答案：c3.一个数列an的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式an=_.解析：这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n的取值范围.答案：2an-1+an+1(n2)4.在数列an中，an+1=an+2+an,a1=2,a2=5，则a6的值为_.解析：an+1=an+2+an，an+2=an+1-an，则有a6=a5-a4=(a4-a3)-a4=-a3=-(a2-a1)=a1-a2=2-5=-3.答案：-310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a1=1，an+1=(nn*)，依次写出an的前5项为_，归纳出an=_.解析：题中已给出an的第1项即a1=1，根据递推公式：an+1=，将n=2,3,4,5代入可得这个数列的前5项.a2=,a3=,a4=,a5=an=答案：1， an=2.数列an满足a1=1，an=an-1+n(n2)，则a5=_.解析：由an=an-1+n(n2)，得an-an-1=n，则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5，把各式相加得a5-a1=2+3+4+5=14,a5=14+a1=14+1=15.答案：153.已知a1=2，an+1=2an,写出前5项，并猜想an. 解：将n=2,3,4,5代入an+1=2an，可得：a1=2,a2=22,a3=23,这样我们就很容易猜出通项公式an=2n.4.已知数列an：1,5,8,9,4，通过公式bn=anan+1构造一个新的数列bn，试写出数列bn的前4项.解：将序号1,2,3,4代入公式bn=anan+1，可得：b1=a1a2=15=5，b2=a2a3=58=40，b3=a3a4=89=72，b4=a4a5=94=36.所以数列bn的前4项为：5,40,72,36.5.下面是由数字排列的一个数列：7,9,16,25,41,66,107,173，写出其递推公式.解：通过观察我们可以发现这个数列的一个规律：每一项都等于其前两项的和，7+9=16,9+16=25,16+25=41,25+41=66,所以递推公式为：a1=7,a2=9,an=an-1+an-2(3n8).6.在数列an中，a1=1，4an+1-anan+1+2an=9(nn)，写出它的前4项并归纳出用n表示an的式子.解：4an+1-anan+1+2an=9(nn),an+1(4-an)+2an=9.an+1(4-an)=9-2an.an+1=.a2=，a3=，a4=.则求出的这个数列的前4项为：1，可归纳出通项公式为：an=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在数列an中，an=1，an+1=an2-1(n1)，则a1+a2+a3+a4+a5等于( )a.-1 b.1 c.0 d.2解析：由已知an+1=an2-1=(an+1)(an-1)，a2=0,a3=-1，a4=0,a5=-1.答案：a2.已知数列an中，a1=b（b为任意正数），an+1=（n=1,2,3，），能使an=b的n的数值可以是( )a.14 b.15 c.16 d.17解析：a1=b，an+1=，a2=，a3=，a4=b.an为周期为3的数列.由于a1=a4=b，a16=b.答案：c3.若数列an满足：an+1=且a1=2，a2006等于( )a.1 b.2 c. d.解析：由an+1=以及a1=2得，a2=，a3=1-2=-1，a4=2，由此可见，数列an的项是以3为周期重复出现的，故a2006=a3668+2=a2=，故选d答案：d4.数列an的前9项是1,5,7,17,31,65,127,257,511，请写出这个数列所隐含的递推关系式an=_.解析：1+5=6,5+7=12,7+17=24,等等.12与17差个5，24与31差个7，那么下一项是否差个17呢？17+31+17=65正符合，这样可以猜想出这个数列的递推关系式.答案：a1=1,a2=5,an=an-1+2an-2(n3)5.某网络公司，2005年的市场占有率为a，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加，其规律如下图所示：则该公司2007年的市场占有率为_；写出其中的递推关系式：_.解析：2005年的市场占有率为a，2006年的市场占有率为a+，2007年的市场占有率为a+，发现前一年的占有率与后一年的占有率密切联系，可以得到前后两年的递推关系式.答案： 递推关系式为：6.设二次方程anx2-an+1x+1=0(nn)有两根和，且满足6-2+6=3.试用an表示an+1.解：根据韦达定理，得+=,=，由6-2+6=3得6，又在二次方程中an0，故an+1=.7.已知数列an满足a1=1，an+1=an+，且a2=3,a4=15，求,的值.解：由a2=a1+=+=3，得=3-.故a3=a2+=3+=2+3，a4=a3+=(2+3)+3-=22+2+3=15.化简得2+-6=0.解得=-3或=2，代入=3-得=6或=1.故代入检验皆成立.8.平面内有n(n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，用an表示交点的个数，试写出an与an-1的关系式.解：要想弄清an与an-1的关系，需要先研究n=1,2,3,具体的关系.当n=2时，两条直线相交，交点只有1个，当n=3时，三条直线相交，交点有3个，当n-1条直线相交时，交点个数为an-1，现在来考虑n条直线的情况.任取其中的1条直线，记为l，除l以外的其他n-1条直线的交点个数an-1.又因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他n-1条直线都相交，有n-1个交点，又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的n-1个交点两两不相同，且与平面内其他的an-1个交点也两两不相同.从而平面内n条直线交点的个数是an=an-1+(n-1).9.某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n年与第(n-1)年（nn且n2）的产量之间的关系式（不要求证明）.解：不妨设改进技术后第n年的产量为an，则a1=a(1+200%)=3a，a2=a1(1+200%)=6a，a3=a2(1+200%)=9a，a4=a3(1+200%)=.依此，得an=an-1(1+200%)=an-11+()n-2（nn*，n2）.10.为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100 开始第一次量细棒长度，以后每升高50 量一次，把依次量得的数据所成的数列ln表示成图象，如下图，根据图象完成下列问题：（1）第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？（2）求ln的通项和金属棒长度l（m）关于温度t（单位：）的函数关系式；（3）在30 的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500 ，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？解：(1)从图上不难看到第5次量得金属棒长度是2.005 m，这时温度为(5-1)50+100=300 .(2)设ln=dn+b，由待定系数法可得通项公式ln=0.001n+2，由题意可得t=50(n-1)+100=50n+50，