高中数学 第二章 推理与证明B章末测试 新人教B版选修2-2.doc

高中数学 第二章 推理与证明b章末测试 新人教b版选修2-2(高考体验卷)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()a方程x3axb0没有实根b方程x3axb0至多有一个实根c方程x3axb0至多有两个实根d方程x3axb0恰好有两个实根2(2013陕西西安高三检测)三段论：“所有的中国人都坚强不屈；玉树人是中国人；玉树人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是()a b c d3(2012江西高考)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()a28 b76 c123 d1994(2013大连高三模拟)若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2b2c2abbcca.证明过程如下：a，b，cr，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又a，b，c不全相等，以上三式至少有一个“”不成立，将以上三式相加得2(a2b2c2)2(abbcac)，a2b2c2abbcca.此证法是()a分析法 b综合法c分析法与综合法并用 d反证法5(2014浙江杭州高三质检)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等a b c d6(2014山东潍坊高三模拟)当a，b，c(0，)时，由，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是()a.(ai0，i1,2，n)b.(ai0，i1,2，n)c.(air，i1,2，n)d.(ai0，i1,2，n)7(2013陕西高考)设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()axx b2x2xcxyxy dxyxy8(2012长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：s(x)axax，c(x)axax，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是()s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)2s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)2s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)a b c d9(2012江西高考)观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()a76 b80 c86 d9210(2014山东日照高三质检)已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是()a正四面体的内切球的半径是其高的b正四面体的内切球的半径是其高的c正四面体的内切球的半径是其高的d正四面体的内切球的半径是其高的二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在题中的横线上)11(2014课标全国高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a，b，c三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过b城市；乙说：我没去过c城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_12(2014陕西高考)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nn，则f2 014(x)的表达式为_13(2014陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(f)顶点数(v)棱数(e)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中f，v，e所满足的等式是_14(2014河南洛阳模拟)用数学归纳法证明不等式1(nn)成立，其初始值至少应取_15(2013湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为n(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数n(n,3)n2n，正方形数 n(n,4)n2，五边形数 n(n,5)n2n，六边形数 n(n,6)2n2n， 可以推测n(n，k)的表达式，由此计算n(10,24)_.三、解答题(本大题共4小题，共30分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题6分)(2014安徽高考)设实数c0，整数p1，nn.(1)证明：当x1且x0时，(1x)p1px；(2)数列an满足a1c，an1ana，证明：anan1.17(本小题6分)(2014大纲全国高考)函数f(x)ln(x1)(a1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a11，an1ln(an1)，证明：an.18(本小题8分)(2014北京大学自主招生试题)证明tan 3是无理数19(本小题10分)(2014湖北高考)为圆周率，e2.718 28为自然对数的底数(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求e3,3e，e，e,3，3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e3,3e，e，e,3，3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论参考答案1解析：“至少有一个”的否定为“没有”答案：a2答案：a3解析：利用归纳法：ab1，a2b23，a3b3431，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123.规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和答案：c4答案：b5解析：由合情推理可知全部正确答案：c6解析：(ai0，i1,2，n)是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a1a2an时成立结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的答案：d7解析：对于选项a，取x1.1，则x1.11，而x1.1(2)2，故不正确；对于选项b，令x1.5，则2x33,2x21.52，故不正确；对于选项c，令x1.5，y2.5，则xy44，x2，y3，xy5，故不正确；对于选项d，由题意可设xx1,011，yy2,021，则xyxy12，由011，120，可得1121.若0121，则xyxy12xy；若1120，则01121，xyxy12xy1112xy1xy，故选项d正确答案：d8解析：经验证易知错误，依题意，注意到2s(xy)2(axyaxy)，又s(x)c(y)c(x)s(y)2(axyaxy)，因此有2s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)；同理有2s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)综上所述，选b.答案：b9解析：由已知条件得，|x|y|n(nn)的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为80，故选b.答案：b10解析：设正四面体的每一个面的面积为s，高为h，内切球半径为r，由等积法可得4srsh，于是r，即内切球半径是高的.答案：c11解析：由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市，而甲说去过的城市比乙多，且没去过b城市，因此甲一定去过a城市和c城市又乙没去过c城市，所以三人共同去过的城市必为a，故乙去过的城市就是a.答案：a12解析：依题意，f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)f，f3(x)f(f2(x)f，由此可猜测fn(x)，故f2 014(x).答案：f2 014(x)13解析：因为5692，66102，68122，故可猜想fve2.答案：fve214解析：可以验证，当n1,2,3,4,5,6,7时不等式均不成立，当n8时不等式成立，故初始值至少应取n8.答案：815解析：由题中数据可猜想：含n2项的系数为首项是，公差是的等差数列，含n项的系数为首项是，公差是的等差数列，因此n(n，k)n2nn2n.故n(10,24)11n210n1110210101 000.答案：1 00016(1)证明：用数学归纳法证明当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立假设pk(k2，kn)时，不等式(1x)k1kx成立当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立(2)证法一：先用数学归纳法证明an.当n1时，由题设a1知an成立假设nk(k1，kn)时，不等式ak成立由an1ana易知an0，nn.当nk1时，a1.由ak0得10.由(1)中的结论得pp1p.因此ac，即ak1.所以nk1时，不等式an也成立综合可得，对一切正整数n，不等式an均成立再由1可得1，即an1an.综上所述，anan1，nn.证法二：设f(x)xx1p，x，则xpc，并且f(x)(1p)xp0，x.由此可得，f(x)在，)上单调递增因而，当x时，f(x)f().当n1时，由a10，即ac可知a2a1aa1a1，并且a2f(a1)，从而a1a2.故当n1时，不等式anan1成立假设nk(k1，kn)时，不等式akak1成立，则当nk1时，f(ak)f(ak1)f()，即有ak1ak2.所以nk1时，原不等式也成立综合可得，对一切正整数n，不等式anan1均成立17(1)解：f(x)的定义域为(1，)，f(x).当1a2时，若x(1，a22a)，则f(x)0，f(x)在(1，a22a)是增函数；若x(a22a,0)，则f(x)0，f(x)在(a22a,0)是减函数；若x(0，)，则f(x)0，f(x)在(0，)是增函数当a2时，f(x)0，f(x)0成立当且仅当x0，f(x)在(1，)是增函数；当a2时，若x(1,0)，则f(x)0，f(x)在(1,0)是增函数；若x(0，a22a)，则f(x)0，f(x)在(0，a22a)是减函数；若x(a22a，)，则f(x)0，f(x)在(a22a，)是增函数(2)证明：由(1)知，当a2时，f(x)在(1，)是增函数当x(0，)时，f(x)f(0)0，即ln(x1)(x0)又由(1)知，当a3时，f(x)在0,3)是减函数当x(0,3)时，f(x)f(0)0，即ln(x1)(0x3)下面用数学归纳法证明an.当n1时，由已知a11，故结论成立；设当nk时结论成立，即ak.当nk1时，ak1ln(ak1)ln，ak1ln(ak1)ln，即当nk1时有ak1，结论成立根据，知对任何nn结论都成立18证明：(反证法)假设tan 3是有理数，则tan 6是有理数，tan 12也是有理数，tan 24也是有理数，从而tan 30tan(246)也是有理数，而tan 30是无理数，矛盾因此假设错误，即tan 3是无理数19解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)因为f(x)，所以f(x).当f(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)0，即xe时，函数f(x)单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为e，)(2)因为e3，所以eln 3eln ，ln eln 3，即ln 3eln e，ln eln 3.于是根据函数yln x，yex，yx在定义域上单调递增，可得3ee3，e3e3.故这6个数的最大数在3与3之中，最小数在3e与e3之中由e3及(1)的结论，得f()f(3)f(e)，即.由，得ln 3ln 3，所以33；由，得ln 3eln e