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定积分应用题 1 1 抛物线y2 4x及直线x 3围成的图形绕x轴旋转一周而成的立体体积V A 18 B 18 C 243 8 D 243 8 2 半径为R的半球形水池装满了水 现将水全部抽出 需要做的功W A B C D B C A 一 选择题 2 A B C D 6 矩形闸门的宽am 高hm 将其垂直的放入水中 上沿与水面平齐 则闸门一侧所受压力P A B C D 4 曲线y x x 1 x 2 与x轴所围成图形的面积为 A B C D C B A 3 二 填空题 3 若f x 有一个原函数tanx 则 4 若f x 为 0 上的连续函数 且 4 6 由抛物线y x2与直线y 2所围成的图形的面积A 7 曲线xy 1与直线x 1 x 2 y 0所围成图形绕y轴旋转一周的立体的体积V 8 曲线弧y x2介于x 0 x 1之间长度的定积分表达式s 5 二 典型例题 例1 解 由对称性 有 6 由对称性 有 7 由对称性 有 8 解 9 解 利用对称性知 10 例4 求心形线 的全长 解 由对称性 11 例5 计算心形线 与圆 所围图形的面积 解 利用对称性 所求面积 12 例6 求抛物线 在 0 1 内的一条切线 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 解 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与x y轴的交点分别为 所指面积 13 且为最小点 故所求切线为 得 0 1 上的唯一驻点 14 2020 1 7 15 例7 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 1 求函数 2 a为何值时 所围图形绕x轴一周所得旋转体 解 1 由方程得 面积为2 体积最小 即 故得 16 又 2 旋转体体积 又 为唯一极小点 因此 时V取最小值 17 例8 半径为R 密度为 的球沉入深为H H 2R 的水池底 水的密度 多少功 解 建立坐标系如图 则对应 上球的薄片提到水面上的微功为 提出水面后的微功为 现将其从水池中取出 需做 微元体积 所受重力 上升高度 18 因此微功元素为 球从水中提出所做的功为 偶倍奇零 19 例9 解 如图所示建立坐标系 于是对半圆上任一点 有 20 21 故所求速度为 22 故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 23 例10 解 如图建立坐标系 此闸门一侧受到静水压力为 24 25 例12 设有半径为R的半球形容器如图 1 以每秒a升的速度向空容器中注水 求水深为 为h 0 h R 时水面上升的速度 2 设容器中已注满水 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 解 过球心的纵截面建立坐标系如图 则半圆方程为 设经过t秒容器内水深为h 26 1 求 由题设 经过t秒后容器内的水量为 而高为h的球缺的体积为 半球可看作半圆绕y轴旋转而成 体积元素 故有 两边对t求导 得 at 升 27 2 将满池水全部抽出所做的最少功
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