高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.2 事件的相互独立性教案 新人教A版选修2-3.doc

2.2.2事件的相互独立性教材分析概率论是研究和揭示随机现象规律性的数学分支它的理论和方法渗透到现实世界的各个领域，应用极为广泛而在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率，是三类典型的概率模型将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材在本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，为下一节起铺垫作用课时分配1课时教学目标知识与技能理解两个事件相互独立的概念，能进行与事件独立性有关的概率的计算过程与方法通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，提高解决实际问题的能力情感、态度与价值观通过对实例的分析，问题的探究，学会合作，提高学习数学的兴趣重点难点教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算我们知道求事件的概率有加法公式：若事件a与b互斥，则p(ab)p(a)p(b)那么怎么求a与b的积事件ab呢？回顾旧知：1事件a与b至少有一个发生的事件叫做a与b的和事件，记为ab(或ab)；2事件a与b都发生的事件叫做a与b的积事件，记为ab(或ab)；如果事件a1，a2，an彼此互斥，那么p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)提出问题：甲果盘里有3个苹果，2个橙子，乙果盘里有2个苹果，2个橙子，从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率是多少？活动结果：不妨设事件a：“从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”；事件b：“从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果”“从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果”是一个事件，它的发生，就是事件a，b同时发生，记作ab.(简称积事件)从甲果盘里摸出1个水果，有5种等可能的结果；从乙果盘里摸出1个水果，有4种等可能的结果于是从这两个果盘里分别摸出1个水果，共有54种等可能的结果同时摸出苹果的结果有32种所以从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率p(ab).提出问题：大家观察p(ab)与p(a)、p(b)有怎样的关系？活动结果：从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率p(a)，从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率p(b).显然p(ab)p(a)p(b)继续探究：事件a、b是否互斥？(不互斥)可以同时发生吗？(可以)事件a是否发生对事件b发生的概率有无影响？(无影响)探究结果：显然，事件a“从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”对事件b“从乙果盘里摸出1个球水果，得到苹果”没有影响，即事件a的发生不会影响事件b发生的概率于是：p(b|a)p(b)，又p(b|a)，易得：p(ab)p(a)p(b|a)p(a)p(b)将上述问题一般化，得出如下定义：1相互独立事件的定义：设a，b为两个事件，如果p(ab)p(a)p(b)，则称事件a与事件b相互独立(mutually independent)事件a(或b)是否发生对事件b(或a)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫做相互独立事件若a与b是相互独立事件，则a与，与b，与也相互独立简证：若a与b是相互独立事件，则p(ab)p(a)p(b)所以p(a)p(a)p(ab)p(a)p(a)p(b)p(a)(1p(b)p(a)p()；p(b)p(b)p(ab)p(b)p(a)p(b)(1p(a)p(b)p()p(b)；p( )p()p(b)p()p()p(b)p()(1p(b)p()p()；即a与，与b，与也相互独立教师指出：定义表明如果p(ab)p(a)p(b)，则称事件a与事件b相互独立，反之亦然2相互独立事件同时发生的概率：p(ab)p(a)p(b)即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积类比：若事件a与b互斥，则p(ab)p(a)p(b)提出问题：该结论能否推广到一般情形？p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)活动结果：一般地，如果事件a1，a2，an相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)例1已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？设计意图：题目富有趣味性，激发学生兴趣，使其创造力得到进一步发挥解：设“臭皮匠老大解出问题”为事件a，“老二解出问题”为事件b，“老三解出问题”为事件c，“诸葛亮解出问题”为事件d，则三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率为1p( )10.50.550.60.8350.8p(d)所以，合三个臭皮匠之力解出问题的把握就大过诸葛亮例2甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率解：记“甲射击1次，击中目标”为事件a，“乙射击1次，击中目标”为事件b，则a与b，与b，a与，与为相互独立事件，(1)2人都射中的概率为：p(ab)p(a)p(b)0.80.90.72，2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件a发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件b发生)根据题意，事件a与b互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：p(a)p(b)p(a)p()p()p(b)0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26，2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)(法1)：“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人不中”两种情况，其概率为pp(ab)p(a)p(b)0.720.260.98.(法2)：“2人至少有一个射中”与“2人都未射中”为对立事件，2人都未射中目标的概率是p( )p()p()(10.8)(10.9)0.02，2人至少有1人射中目标的概率为p1p( )10.020.98.(4)(法1)：“至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”，故所求概率为：pp( )p(a)p(b)p()p()p(a)p()p()p(b)0.020.080.180.28.(法2)：“至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求概率为p1p(ab)1p(a)p(b)10.720.28.【变练演编】 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关ja，jb，jc能够闭合为事件a，b，c.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是p( )p()p()p()1p(a)1p(b)1p(c)(10.7)(10.7)(10.7)0.027.这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1p( )10.0270.973.答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.变式1：如图添加第四个开关jd与其他三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率(1p( )p(d)0.9730.70.681 1)变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：p(ac)p(bc)p( c)p(abc)p(ab)p(a)p()p(c)p()p(b)p(c)p()p()p(c)p(a)p(b)p(c)p(a)p(b)p()0.847.方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除jc开且ja与jb至少有1个开的情况则1p()1p(ab)10.3(10.72)0.847.【达标检测】 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析：因为敌机被击中就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解：(1)设“敌机被第k门高炮击中”为事件为ak(k1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为 .事件a1，a2，a3，a4，a5相互独立，敌机未被击中的概率为p( )p()p()p()p()p()(10.2)5()5.敌机未被击中的概率为()5.(2)设至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机，仿照(1)可得：敌机被击中的概率为1()n，令1()n0.9.()n.两边取常用对数，得n10.3.nn*，n11.至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：逆向思考方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便1一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的(列表比较)互斥事件相互独立事件定义不可能同时发生的两个事件事件a是否发生对事件b发生的概率没有影响概率公式p(ab)p(a)p(b)p(ab)p(a)p(b)2解决概率问题的关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件【基础练习】1袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出两个都是白球的概率是()a. b. c. d.2甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为，则此密码能译出的概率是()a. b. c. d.3两个篮球运动员在罚球时命中概率分别是0.7和0.6，每人投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是_答案：1.d2.c3.0.190 512【拓展练习】某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话解：设ai第i次拨号接通电话，i1,2,3.(1)第3次才接通电话可表示为 a3，于是所求概率为p( a3)；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为：a1a2 a3，于是所求概率为p(a1a2 a3)p(a1)p(a2)p( a3).本节课由六个基本环节组成：复习旧知，创造类比条件提出问题，引发思考合作交流，感知问题类比联想，探索问题实践应用，解决问题小结反思，深化拓展(1)以问题作为教学的主线在趣味性情境中发现问题，在猜想、对比性问题中展开探索，在实践应用性问题中感悟数学的思维与方法(2)以课堂作为教学的辐射源通过教师、学生、多媒体多点辐射，带动和提高所有学生的学习积极性与主动性1甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是()ap1p2 bp1(1p2)p2(1p1)c1p1p2 d1(1p1)(1p2)答案：b2某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码解：记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件a，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件b，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件ab.(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此a与b相互独立于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为p(a