高中数学 第六章 推理与证明章末质量评估 湘教版选修2-2.docVIP

第六章 推理与证明章末质量评估(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l，面积为s，则其内切圆半径r”类比可得“若三棱锥表面积为s，体积为v，则其内切球半径r”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r”这两位同学类比得出的结论()a两人都对 b甲错、乙对c甲对、乙错 d两人都错解析利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r，因此，乙同学类比的结论是错误的答案c2设s(n)，则()as(n)共有n项，当n2时，s(2)bs(n)共有n1项，当n2时，s(2)cs(n)共有n2n项，当n2时，s(2)ds(n)共有n2n1项，当n2时，s(2)解析从n到n2共有n2n1个自然数，即s(n)共有n2n1项答案d3在abc中，sin asin ccos acos c，则abc一定是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d不确定解析由sin asin ccos acos c，可得cos (ac)0.但a、c不能判断答案d4下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是()2 006能被2整除；一切偶数都能被2整除；2 006是偶数a b c d答案c5已知abc0，则abbcca的值()a大于0 b小于0c不小于0 d不大于0解析(abc)2a2b2c22(abbcac)0.又a2b2c20，2(abbcac)0.答案d6已知a，br，若ab，且ab2，则()a1ab bab1cab1 d.ab1解析b2a，aba(2a)(a22a)(a1)211，故选b.答案b7下列推理是归纳推理的是()aa，b为定点，动点p满足|pa|pb|2a|ab|，得p的轨迹为椭圆b由a11，an3n1，求出s1，s2，s3，猜想出数列的前n项和sn的表达式c由圆x2y2r2的面积r2，猜出椭圆1的面积sabd科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析从s1，s2，s3猜想出数列的前n项和sn，是从特殊到一般的推理，所以b是归纳推理答案b8某个命题与正整数有关，如果当nk(kn)时，该命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立现在已知当n5时，该命题不成立，那么可推得()a当n6时该命题不成立b当n6时该命题成立c当n4时该命题不成立d当n4时该命题成立解析依题意，若n4时该命题成立，则n5时该命题成立；而n5时该命题不成立，却无法判断n6时该命题成立还是不成立，故选c.答案c9已知函数f(x)|ln x|，若ab1，则f(a)，f(b)，f(c)比较大小关系正确的是()af(c)f(b)f(a) bf(b)f(c)f(a)cf(c)f(a)f(b) df(b)f(a)f(c)解析当x1时，f(x)|lnx|lnx为增函数，因为ab1，所以ff(a)f(b)，而f|ln c|f(c)，所以f(c)f(a)f(b)答案c10若abc，nn，且恒成立，则n的最大值为()a2 b3 c4 d5解析.所以nmax4.或者(ac)(ab)(bc)22 4.答案c二、填空题(每小题5分，共25分)11在数列an中，a11，且sn，sn1,2s1成等差数列(sn表示数列an的前n项和)，则s2，s3，s4分别为_，猜想sn_.解析由sn，sn1,2s1成等差数列，得2sn1sn2s1，因为s1a11，所以2sn1sn2.令n1，则2s2s12123s2，同理，分别令n2，n3，可求得s3，s4.由s11，s2，s3，s4，猜想sn.答案：，12设f(x)是定义在实数集r上的函数，且满足f(x2)f(x1)f(x)，如果f(1)lg，f(2)lg 15，则f(2 008)_.解析由f(1)lglg 151，f(2)lg 15，f(3)f(2)f(1)1，f(4)f(3)f(2)1lg 15，f(5)f(4)f(3)lg 15，f(6)f(5)f(4)1，f(7)f(6)f(5)lg 151，f(8)f(7)f(6)lg 15，可以猜想到，从f(7)开始，又重复了上述数值，即f(x6)f(x)，f(2 008)f(33464)f(4)1lg 15.答案：1lg 1513观察下列等式：1323(12)2,132333(123)2,13233343(1234)2，根据上述规律，第四个等式为_答案1323334353(12345)214用数学归纳法证明：123n2，则nk1时左端在nk时的左端加上_解析nk左端为123k2，nk1时左端为123k2(k21)(k22)(k1)2.答案(k21)(k22)(k1)215设等差数列an的前n项和为sn，则s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为tn，则t4，_，_，成等比数列解析对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前n项积为tn，则t4a1a2a3a4，t8a1a2a8，t12a1a2a12，t16a1a2a16，因此a5a6a7a8，a9a10a11a12，a13a14a15a16，而t4，的公比为q16，因此t4，成等比数列答案三、解答题(本大题共6小题，共75分)16(本小题满分13分)下列是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论命题：若abc且abc0，则bc，a0，c0.要证成立，只要证a.即证b2ac3a2，也就是证：(ac)2ac0.ac0,2ac(ac)aab0，(ac)(2ac)0成立故原不等式成立17(本小题满分13分)设a0，b0,2cab，求证：(1)c2ab；(2)ca0，b0，2cab2c0，c2ab.(2)要证cac只要证ac即证|ac|，也就是(ac)2c2ab而(ac)2(c2ab)a(ab2c)0原不等式成立18. (本小题满分13分)如图，sa平面abc，abbc，过a作sb的垂线，垂足为e；过e作sc的垂线，垂足为f.求证：afsc.证明要证afsc，只需证sc平面aef，只需证aesc(因为efsc)，只需证ae平面sbc，只需证aebc(因为aesb)，只需证bc平面sab，只需证bcsa(因为abbc)由sa平面abc可知上式成立，所以afsc.19(本小题满分12分)观察下表：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 008是第几行的第几个数？解(1)第n1行的第1个数是2n，第n行的最后一个数是2n1.(2)2n1(2n11)(2n12)(2n1)32n32n2为所求(3)2101 024,2112 048,1 0242 008成立证明(1)当n1时，左边，右边，因为，所以不等式成立(2)假设当nk时不等式成立，即成立，则当nk1时，左边 .所以当nk1时，不等式也成立，由(1)，(2)可得不等式恒成立21(本小题满分12分)已知函数f(x)x24，设曲线yf(x)在点(xn，f(xn)处的切线与x轴的交点为(xn1,0)(nn)，其中x1为正实数(1)用xn表示xn1；(2)求证：对一切正整数n，xn1xn的充要条件是x12；(3)若x14，记anlg，证明数列an成等比数列，并求数列xn的通项公式(1)解由题意可得f(x)2x，所以过曲线上点(xn，f(xn)的切线方程为yf(xn)f(xn)(xxn)，即y(x4)2xn(xxn)令y0，得(x4)2xn(xn1xn)即x42xnxn1.显然xn0，xn1.(2)证明(必要性)若对一切正整数n，有xn1xn，则x2x1，即x1，x4.而x10，即有x12.(充分性)若x120，由xn1