高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 第五节 与圆有关的比例线段（2）课后导练 新人教A版选修4-1.doc

第五节 与圆有关的比例线段课后导练基础达标1.如图2-6-8,o的两条弦ab、cd相交于点e,ac与db的延长线交于点p,下列结论中成立的是( )图2-6-8a.cecd=beba b.ceae=bedec.pcca=pbbd d.pcpa=pbpd解析:根据相交弦定理a、b均不正确.根据割线定理c错误,d正确.答案:d2.如图2-6-9,点c为o的弦ab上一点,点p为o上一点,且occp,则有( )图2-6-9a.oc2=cacb b.oc2=papbc.pc2=papb d.pc2=cacb解析:延长pc交o于d,ocpc,pc=cd.由相交弦定理,得pccd=cacb.pc2=cacb.d正确.若a正确,则oc=pc,条件不充分,而b、c均无法证明.答案:d3.如图2-6-10,o的直径ab垂直于弦cd,垂足为h,点p是上一动点(点p不与a、c重合),连结pc、pd、pa、ad,点e在ap的延长线上,pd与ab交于点f.给出下列四个结论:ch2=ahbh;=;ad2=dfdp;epc=apd.其中正确的个数是( )图2-6-10a.1 b.2 c.3 d.4解析:cdab,ch=dh.由相交弦定理,得chdh=ahbh.ch2=ahbh.故正确.由垂径定理得=,正确.若正确,则adfpdadaf=dpa=,不合题意,故错误.四边形adcp内接于圆epc=apd,正确.答案:c4.如图2-6-11,pa、pb分别切o于a、b、c是上任意一点,过c作o的切线de分别交pa、pb于d、e,po交ab于h,交o于f,则下列结论:pde周长是定值pa+pb;ah2=ohph;pa2=po2-of2;pb2=poph.其中正确的是( )图2-6-11a. b. c. d.解析:由切线长定理,得dc=da,ec=eb.de=ad+be.pd+de+pe=pd+da+be+pe=pa+pb,正确.连结oa、ob,则p、a、o、b四点共圆,由相交弦定理,得ahbh=ohph.ah=bh,ah2=ohph.正确.延长po交o于g,由切割线定理,得pa2=pfpg=(po-of)(po+og)=(po-of)(po+of)=po2-of2,正确.在rtpob中,bfop,由射影定理pb2=poph,正确.答案:d5.如图2-6-12,ab为o的直径,cd、cb为o的切线,d、b为切点,oc交o于e,ae延长线交bc于点f,连结ad、bd.以下结论:adoc;e为cdb的内心;fc=fe;cefb=abcf.其中正确的只有( )图2-6-12a. b. c. d.解析:由切线长定理cd=bc,ocd=ocb,ocbd.bad=boe.adoc.正确.连结de、be,dae=bde.由弦切角定理cde=dae.cde=bde.同理,dbe=cbe,即e是cdb的三内角平分线交点.e为cdb的内心,正确.无法证明.设af、bd交于g点,bfg+bag=90,bgf=agd,agd+dae=90,bgf+dae=90.dag=bae,bfg=bgf.bf=bg.又易证abgecf,.abcf=bgce=bfce.结论正确.综上所述,选d.答案:d综合运用6.如图2-6-13,已知o1、o2外切于点p,过o1上一点b作o1的切线,交o2于c、d,直线pb交o2于点a.图2-6-13求证:ad2+bcbd=ab2.解析:由bcbd联想到割线定理bcbd=bpab,又等式右边含ab2,考虑移项后和差化积.ad2=ab2-bcbd=ab2-bpab=ab(ab-bp)=abap.只需证ad2=abap,利用abdadp.证明:过p作公切线ef交bd于点e,由切线长定理,得eb=ep.b=epb.epb=apf,apf=adp.b=adp.又a=a,abdadp.=.ad2=abap.由割线定理,得bcbd=bpab.ad2+bcbd=abap+bpab=ab(ap+bp)=ab2.ad2+bcbd=ab2.7.如图2-6-14,已知rtabc中,b=90,ab交o于d,且过圆心o,ac交o于e,cf交o于d.求证:ad2=acae-dfcd.图2-6-14证明:连结af、de,ad为直径,aed=90,afd=90.ced=90.cbd=90,b、c、e、d四点共圆.aeac=adab.又a、f、b、c四点共圆,adbd=dfcd.acae-dfcd=adab-adbd=ad(ab-bd)=ad2.ad2=acae-dfcd.8.如图2-6-15,两圆内切于点a,p是两圆公切线上的点,过p点作小圆的割线pbc,连结ab、ac,并延长分别交大圆于d、e,求证:.图2-6-15证明:连结de,pab=acb,p=p,pabpca.=.pad=e,pab=acb,acb=e.同理,abc=d.bcde.=.=.=.又由切割线定理,得pa2=pbpc,.9.如图2-6-16,已知abc中,acb=90,cdab于d,以bd为直径的o交bc于e,求证: =.图2-6-16证明:连结de,bd是直径,deb=90.acb=90,deac.=.由射影定理得bc2=bdab,ac2=adab.=.=.拓展探究10.如图2-6-17,o1和o2都经过a、b两点,pq切o1于点p,交o2于q、m,交ab的延长线于n,则pn2=nmnq.(不要求证明)图2-6-17问题1:在上图中,将qp绕q旋转至o1与o2外切如图2-6-18,结论pn2=nmnq还成立吗?若成立,请证明.图2-6-18探究1:结论pn2=nmnq仍然成立.证明:由切线长定理,得pn=an.由切割线定理,得an2=nmnq,pn2=nmnq.问题2:继续旋转至o1与o2外离,如图2-6-19,若使pn2=nmnq,请探究如何确定n的位置.图2-6-19探究2:作两圆内公切线交o1o2于点a,过a作anpq于n,则pn2=nmnq.备选习题11.如图2-6-20,c是o的直径ab延长线上一点,过点c作o的切线cd,d为切点,连结ad、od、bd,请根据图中所给出的已知条件,写出你认为正确的结论_.图2-6-20解析:本题属于开放题,答案较多,如:(1)cd2=cbca,切割线定理.(2)dcod,切线性质.(3)adb=90,圆周角性质.(4)bdc=a,弦切角定理.(5)acddcb等等.12.如图2-6-21,已知ab是圆的直径,d是ab上一点,cdab,cd交圆于点e,ct是圆的切线,t是切点.求证:be2+ct2=bc2.图2-6-21证明:延长cd交o于g,则de=dg.由切割线定理ct2=cecg=ce(cd+dg)=ce(cd+de)=cecd+cede,be2+ct2=de2+bd2+cecd+cede=cecd+de(de+ce)+bd2=cecd+decd+bd2=cd(ce+de)+bd2=cd2+bd2=bc2.13.如图2-6-22,已知pm是o的切线,m为切点,pab和pcd均是o割线,且abpd=bcad.求证:pm2-pa2=acad.图2-6-22证明:=,adc=abc.abpd=bcad,.abcadp.acb=apd.又=,acb=adb.apc=adb.又四边形abdc内接于圆,acp=abd.apcadb.apab=acad.由切割线定理,得pm2=papb.pm2-pa2=papb-pa2=pa(pb-pa)=paab=acad.pm2-pa2=acad.14.如图2-6-23,已知1和o2外切于点p,过p的直线分别交o1、o2于点a、b,过b作o2的切线交o1于点c、d,cp的延长线交o2于点q.求证:.图2-6-23证明:过点p作两圆的公切线pt交bd于t,则cpt=cdp,bd是o2的切线,b=bpt.apd=cdp+b,bpc=bpt+cpt,apd=bpc.又bcp=a,padpcb.bc是o2的切线,bc2=cpcq.15.如图2-6-24,已知o1和o2外切于点c,ab切o1于a,切o2于点b,o2o1的延长线交o1于d,并与ba的延长线交于点p,求证:.图2-6-24证明:连结ac、bc,过c作两圆公切线ce交pb于e,连结o1a.则1=2,3=4.2+3=90.又2+5=90,5=3.5=4.p=p,pacpcb.=.pc2=papb.又o1apb,o2bpb,o1ao2b.16.如图2-6-25,已知abc内接于o,a的外角平分线交bc的延长线于d,交o于e,求证:ad2=bdcd-abac.图2-6-25思路分析:由bdcd可联想到割线定理,则bdcd=dade=da(ad+ae)=ad2+adae.只需证adae=abac即可.事实上,由abeadc易证.证明:连结be,由割线定理,得bdcd=dade,1=2,2=3,1=3.又acd=e,abeadc.=.abac=adae.bdcd-abac=dade-adae=ad(de-ae)=ad2.17.如图2-6-26,已知以af为直径的o与以oa为直径的o1内切于a,adf内接于o,dbfa于b交o1于c,连结ac并延长交o于e,求证:(1)ac=ce;(2)ac2=db2-bc2.图2-6-26思路分析:要