高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 二 圆内接四边形的性质与判定定理学案 新人教A版选修4-1.doc

二圆内接四边形的性质与判定定理1了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理及其应用2理解圆内接四边形的判定定理及其推论，并能解决有关问题3了解反证法在证明问题中的应用1性质定理1文字语言圆的内接四边形的对角_符号语言若四边形abcd内接于圆o，则有ac_，bd_图形语言作用证明两个角互补【做一做1】四边形abcd内接于圆o，a25，则c等于()a25 b75 c115 d1552性质定理2文字语言圆内接四边形的外角等于它的内角的_符号语言四边形abcd内接于o，e为ab延长线上一点，则有cbe_图形语言作用证明两个角相等【做一做2】四边形abcd内接于圆o，延长ab到e，adc32，则cbe等于()a32 b58c64 d148(1)利用这两个性质定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系，再进行其他的计算或证明(2)利用这两个定理可以得出一些重要结论，如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形等3圆内接四边形判定定理文字语言如果一个四边形的对角_，那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形abcd中，如果bd_(或ac180)，那么a，b，c，d四点共圆图形语言作用证明四点共圆【做一做3】下列四边形的四个顶点共圆的是()a梯形b矩形c平行四边形d菱形4推论文字语言如果四边形的一个外角等于它的内角的_，那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形abcd中，延长ab到e，若cbe_，则a，b，c，d四点共圆图形语言作用证明四点共圆性质定理1和判定定理互为逆定理，性质定理2和判定定理的推论互为逆定理【做一做4】如图所示，四边形abcd的边ab的延长线上有一点e，且bcbe，d80，e50，求证：四边形abcd内接于圆答案：1互补180180【做一做1】d四边形abcd内接于圆，ac180.又a25，c180a155.2对角adc【做一做2】a四边形abcd内接于圆o，adccbe32.3互补180【做一做3】b仅有矩形的对角互补，则矩形的四个顶点共圆4对角adc【做一做4】证明：bcbe，ebce.则ebc1802e80，ebcd.四边形abcd内接于圆反证法剖析：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导出矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法用反证法证明一个命题的步骤为：(1)反设，(2)归谬，(3)结论反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表达形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，推理必须严谨，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾等对于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着出奇制胜的作用例如，如图，已知四边形abcd中，12，下面证明a，b，c，d四点共圆由a，b，d三点可以确定一个圆，设该圆为o.假设a，b，c，d四点不共圆，则点c在o外部或内部(1)如果点c在o的外部(如图)设bc与圆相交于点e，连接ae.1aeb，12，2aeb而aeb是aec的外角，aeb2，这与2aeb相矛盾，故点c不能在圆外(2)如果点c在o的内部(如图)，延长bc与圆相交于点e，连接ae.则1aeb，而12，2aeb但是2是aec的外角，2aeb，这与2aeb矛盾，点c不能在圆内综上(1)(2)所述，可知点c在圆上a，b，c，d四点共圆该结论可作为定理直接应用：与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆题型一 证明四点共圆【例题1】如图，在abc中，e，d，f分别为ab，bc，ac的中点，且apbc于p，求证：e，d，p，f四点共圆分析：连接pf，转化为证明fedfpc，利用中点证明fedc，利用apbc证明pffc，得cfpc，即得出fedfpc反思：判定四点共圆的方法：如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆；如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆(如本题)；与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆题型二 圆内接四边形的性质的应用【例题2】如图所示，已知四边形abcd内接于o，延长ab和dc相交于点e，eg平分aed，且与bc，ad分别交于点f，g.求证：cfgdgf.分析：由于befdeg，转化为证明ebfedg，又bfe与cfg是对顶角，问题获证反思：当已知条件中出现圆内接四边形时，常用圆内接四边形的性质定理来获得角相等或互补，从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件答案：【例题1】证明：连接pf.apbc，f为ac的中点，pf是rtapc斜边上的中线pffc，fpcc.e，f，d分别为ab，ac，bc的中点，efcd，edfc.四边形edcf为平行四边形fedc，fpcfed.e，d，p，f四点共圆【例题2】证明：四边形abcd内接于o，ebfade.又ef是aed的平分线，则befdeg，ebfedg.efbdgf，又efbcfg，cfgdgf.1四边形abcd内接于圆o，abc237，则d_.2如图，在abc中，a60，acb70，cf是abc的边ab上的高，fpbc于点p，fqac于点q，则cqp的大小为_3如图，ab为o的直径，c，d是o上的两点，bac20，则dac_.4如图，已知四边形abcd为平行四边形，过点a和b的圆与ad，bc分别交于e，f两点求证：c，d，e，f四点共圆5如图所示，ab，cd都是圆的弦，且abcd，f为圆上一点，延长fd，ab使它们交于点e.求证：aeacafde.答案：1120圆的内接四边形的对角互补，ac180.又abc237，a40，b60，c140.又bd180，d18060120.250fpbc，fqac，fpcfqc9090180.四边形fpcq内接于圆cqpcfp.又a60，acb70，b50，pfb90b40.又cf是abc的边ab上的高，cfp90pfb50.cqp50.335ab为o的直径，acb90.abc90bac902070.又四边形abcd内接于圆o，abcadc180，adc180abc18070110.则在adc中，dacdca70.又，dacdca.dac35.4分析：连接ef.由baef180，bc180，可得aefc.即四边形efcd的一个外角等于它的内角的对角，故c，d，e，f四点共圆证明：如图所示，连接ef.abcd为平行