高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.2 函数的极值导学案 北师大版选修1-1.doc

4.1.2函数的极值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点一函数极值的概念函数yf(x)的图像如图所示.思考1函数在点xa的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？答案函数在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近的其他点的函数值都小.思考2f(a)为多少？在点xa附近，函数的导数的符号有什么规律？答案f(a)0，在点xa附近的左侧f(x)0.思考3函数在xb点处的情况呢？答案函数在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，所以函数f(x)在r上为增函数，无极值.反思与感悟(1)导数值为0的点不一定是函数的极值点，函数在某点的导数值为0是取得极值的必要条件，而不是充分条件.(2)求可导函数f(x)的极值的步骤确定函数的定义域，求导数f(x)；求f(x)的拐点，即求方程f(x)0的根；利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.特别提醒：在判断f(x)的符号时，借助图像也可判断f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断.跟踪训练1求下列函数的极值：(1)f(x)2x33x212x1；(2)f(x)3ln x.解(1)函数f(x)2x33x212x1的定义域为r，f(x)6x26x126(x2)(x1)，解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值21极小值6所以当x2时，f(x)取极大值21；当x1时，f(x)取极小值6.(2)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值3因此当x1时，f(x)有极小值3，无极大值.类型二已知函数极值求参数例2已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_.答案29解析f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0.即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在r上为增函数，无极值，故舍去.当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3).当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数.故f(x)在x1处取得极小值，a2，b9.引申探究1.本例的其他条件不变，如果直线yk与函数图像有三个交点，求k的取值范围.解由例2知f(x)极小值f(1)0，f(x)极大值f(3)4，由图像可知当0k0)，故f(x)x1.当x(0，1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0.故在x1处函数f(x)取得极小值，在x2处函数f(x)取得极大值ln 2.所以x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点.类型三函数极值的综合应用例3函数f(x)x34x4的图像与直线ya恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_.答案(，)解析f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2).令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，函数取得极大值f(2)；当x2时，函数取得极小值f(2)，且f(x)在(，2)和(2，)上是增加的，在(2，2)上是减少的.根据函数单调性、极值情况，它的图像大致如图所示，结合图像知a.反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.跟踪训练3已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图像与yf(x)5xm的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围.解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图像与x轴有三个不同的交点.g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，)(，4)4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为g()m，极小值为g(4)16m.由yf(x)的图像与yf(x)5xm的图像有三个不同交点，得解得16m b.ac.a且a0 d.a且a0答案c解析f(x)3ax22x1，令f(x)0，即3ax22x10有两个不等实根，则得a0，则f(x)单调递增；当x(2，2)时，f(x)0).(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)是单调函数，求a的取值范围.解f(x).(1)当a时，f(x)，令f(x)0，得x1，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)因此f(x)的极大值点为，极小值点为.(2)由题意知ax22ax10有两相等实根或无根，当a0时，方程无根，符合题意，当a0时，(2a)24a0，得0a1.综上可得实数a的取值范围为0，1.1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题.40分钟课时作业一、选择题1.如图为yf(x)的导函数的图像，则下列判断正确的是()f(x)在(3，1)上为增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在(2，4)上为减函数，在(1，2)上为增函数；x2是f(x)的极小值点.a. b. c. d.答案b解析当x(3，1)时，f(x)0，f(x)在(3，1)上为减函数，在(1，2)上为增函数，不对；x1是f(x)的极小值点；当x(2，4)时，f(x)0，f(x)是减函数；x2是f(x)的极大值点.故正确.2.“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分又不必要条件答案b解析对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0处取极值，反之成立.故选b.3.函数f(x)x33x29x(2x0，当x(1，2)时，f(x)0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间为()a.(1，1) b.(，1)c.(1，) d.(，1)和(1，)答案a解析令f(x)3x23a0，得x，令f(x)0，得x或x；令f(x)0，得x0)的极大值为6，极小值为2，f()2，f()6，即a3ab2且a3ab6，得a1，b4，则f(x)3x23，由f(x)0，得1x1.则单调递减区间为(1，1).故选a.5.设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图像的一部分如图所示，则()a.f(x)极大值为f()，极小值为f()b.f(x)极大值为f()，极小值为f()c.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)d.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)答案d解析当x0，即f(x)0；当3x3时，f(x)0.f(x)的极大值是f(3)，极小值是f(3).6.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1，2)，则()a.当k1时，f(x)在x1处取到极小值b.当k1时，f(x)在x1处取到极大值c.当k2时，f(x)在x1处取到极小值d.当k2时，f(x)在x1处取到极大值答案c解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0.x1不是f(x)的极值点.当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且x在1的左边附近f(x)0，f(x)在x1处取到极小值.故选c.7.已知ar，且函数yexax(xr)有大于零的极值点，则()a.a1 b.a1c.a d.a答案a解析因为yexax，所以yexa.令y0，即exa0，则exa，即xln(a)，又因为x0，所以a1，即a1.二、填空题8.函数yxex在其极值点处的切线方程为_.答案y解析令yexxex(1x)ex0，得x1，y，函数yxex在极值点处的切线方程为y.9.已知函数f(x)ax33x26axb在x2处取得极值9，则a2b_.答案24解析f(x)3ax26x6a，f(x)在x2处取得极值9，即解得a2b24.10.若直线ym与y3xx3的图像有三个不同的交点，则实数m的取值范围为_.答案(2，2)解析y3xx3，y33x2，令y0，得x1，当x(，1)时，y0；当x(1，)时，y0.当x1时，y取极大值2，当x1时，y取极小值2.直线ym与y3xx3的图像有三个不同的交点，m的取值范围为2m2.11.已知f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则f(1)_.答案30解析f(x)3x22axb，由题意知即解得或经检验知，当时，f(x)3(x1)20，不合题意.f(x)x34x211x16，f(1)30.三、解答题12.函数f(x)x3ax2bxc的图像如图所示，且与直线y0在原点处相切，函数的极小值为4.(1)求a，b，c的值；(2)求函数的单调递减区间.解(1)函数的图像过原点，c0，即f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb.又函数f(x)的图像与直线y0在原点处相切，f(0)0，解得b0，f(x)3x22axx(3x2a).由f(x)0，得x0或x