高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 四 弦切角的性质达标训练 新人教A版选修4-1.doc

四 弦切角的性质更上一层楼基础巩固1如图2-4-8，ab是半圆o的直径，c、d是半圆上的两点，半圆o的切线pc交ab的延长线于点p，pcb=25，则adc为( )a.105 b.115 c.120 d.125图2-4-8思路解析:连结ac，构造出夹圆周角adc所对弧的弦切角，即pca，而pca显然等于pcb加上一个直角，由此即得结果.答案:b2如图2-4-9，ab是o的直径，ef切o于c，adef于d，ad=2，ab=6，则ac的长为( )图2-4-9a.2 b.3 c. d.4思路解析:连结bc，构造出弦切角所对的圆周角，由已知有adc与acb相似，所以可得，代入数值得关于ac的方程.答案:c3如图2-4-10，ab是o的弦，cd是经过o上的点m的切线.图2-4-10求证：(1)如果abcd，那么am=mb；(2)如果am=bm，那么abcd.思路分析:本题的两个问题互为逆命题，利用弦切角在中间起桥梁作用，如第（1）题，由平行得b=dmb，由弦切角得dmb=a，于是有a=b.证明:(1)cd切o于m点，dmb=a，cma=b.abcd，cma=a.a=b.am=mb.(2)am=bm，a=b.cd切o于m点，dmb=a，cma=b.cma=a.abcd.4如图2-4-11，四边形abed内接于o，abde，ac切o于a，交ed延长线于c.求证：adae=dcbe.图2-4-11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形acd和abe中，所以只要证明acdabe即可.证明:四边形abed内接于圆，adc=abe.ac是o的切线，cad=aed.abde，bae=aed.cad=bae.acdabe.adae=dcbe.综合应用5如图2-4-12，p为o的直径cb延长线上的一点，a为o上一点，若=，ae交bc于d，且c=pad.图2-4-12(1)求证：pa为o的切线；(2)若bea=30，bd=1，求ap及pb长.思路分析:对于（1），a已经是圆上一点，所以可以连结oa，证明pa与oa垂直；对于（2），将e利用圆周角定理转移到rtoda和rtoap中，解直角三角形即可得到线段ap及pb的长.（1）证明:连结ao，=，bc为直径，aebc，ad=de，=.oa=oc，c=3.1=2c.又c=pad，1=2.14=90，24=90.paoa.pa为o的切线.（2）解:在rtebd中，bea=30，bd=1,be=2，de=.在rtoda和rtebd中,4=90-1=90-2c=90-2e=30=e，oda=bde，ad=ed，rtodartebd.ad=de=，od=bd=1，oa=be=2.在rtoap中，adop，ad2=oddp，即()2=1dp.dp=3.bp=2.在rtadp中，根据勾股定理，得ap=.6如图2-4-13，已知c点在o直径be的延长线上，ca切o于a点，acb的平分线cd交ae于f点，交ab于d点.图2-4-13(1)求adf的度数.(2)若acb的度数为y度，b的度数为x度，那么y与x之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.(3)若ab=ac，求acbc.思路分析:（1）中由ac为o切线可得b=eac，由cd平分acb可得acd=dcb，根据三角形外角定理，得到adf=afd，建立等腰三角形，再由顶角求底角；（2）中则利用三角形内角和定理得到方程，获得关系；（3）中求线段的比值，利用aceabc可得.解:（1）ac为o切线，b=eac.cd平分acb，acd=dcb.bdcb=eacacd，即adf=afd.be为o直径，dae=90.adf=(180-dae)=45.（2）b=eac，bbacacb=180,x90xy=180.y=90-2x.0badc，0x45.y与x的函数关系式是y=90-2x，其中x的取值范围是0x45.（3）