高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 一 圆周角定理互动课堂学案 新人教A版选修4-1.doc

一 圆周角定理互动课堂重难突破一、圆周角定理圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是,圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才有上面定理中所说的数量关系.在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧上的圆心角的关系,然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧上的圆心角之间的关系,在角的一边不经过圆心时,又有两种情况,一是圆心在圆周角内,二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论,最后得到不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行,后面还会遇到这种分情况证明的定理.另外,通过这个定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论问题时,常常从特殊情况入手,因为特殊情况下问题往往容易解决,如图2-1-1中,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时aob =2c很容易证明.特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图2-1-1左图和右图的情况,通过辅助线,把它们变成中间那样的两个角的和或差,这样利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证.定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.图2-1-1二、圆周角定理的两个推论推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.如图2-1-2,abe =ace =ade,a =b =c.图2-1-2推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径.如图2-1-3,acb =adb =aeb =90,ab是直径.图2-1-3圆周角定理及其推论是进一步推导圆其他重要性质的理论根据,而且对于角的计算,推证角相等、弧相等、弦相等,判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见问题提供了十分简便的方法,学习中要注意体会.三、刨根问底问题1在一个圆中,圆周角与它所对的弧的对应关系,在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？探究:在圆中,只要有弧,就存在着弧所对的圆周角.同弧对的圆周角相等,而相等的角为几何命题的推论提供了条件.但是在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时,往往缺少用这个知识点的意识或困难,应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角,如图2-1-4中,已知,那么在所对的圆周上任取一点都可得到相等的圆周角c =d =e.也可以由角找弧,再由弧找角,如图2-1-5中,ad平分bac,得1=2,1对,2对,3也对cd,故1=2=3,如果要证dbedab,无疑两个相等的角为此提供了条件. 图2-1-4 图2-1-5问题2在圆中,直径所对的圆周角等于90,解决问题时,应怎样利用这一条件？探究:只要在已知中给出了直径这一条件,一是要想到它和半径的关系,还要想到封闭了它所对的圆周角,便得到了直角三角形,这样有关直角三角形的性质便可应用了.如图2-1-6,以cd为直径的o交acd的两边于b、e,连结be.求证:adcosa=ab.图2-1-6此题必须先证ad、ab所在abd为直角三角形,此时连结bd,可由直径所对的圆周角为90,创设了所需的条件.又如图2-1-7,在o中,直径abcd,弦aecf.要证abecdf,在知a =c,ab =cd时,缺少一个条件,由ab、cd为直径,想到连结be、cf,便可知e =f =90,这就为证三角形全等提供了条件.活学巧用【例1】如图2-1-8,已知o中,aob=2boc.求证:acb=2bac.图2-1-8思路解析:圆周角acb与圆心角aob对同一条弧,所以acb =aob,同理,bac =boc,再利用已知条件可得结论.证明:acb =aob,aob =2boc,acb =boc,bac =bocacb =2bac.【例2】 如图2-1-9,已知圆心角aob的度数为100,则圆周角acb的度数为()图2-1-9a.80b.100c.120d.130思路解析:要求acb,只需求所对的圆心角,然后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解.解:aob =100,所对的圆心角为260,acb =130.故选d.【例3】如图2-1-10,以ab为直径的半圆上任取两点m和c,过点m作mnab,交ac延长线于e,交bc于f.求证:mn是nf和ne的比例中项.图2-1-10思路解析:题目即证mn2=nfne,连结am、bm,从而构造出rtamb,但mn、ne、nf共线,无法由相似三角形直接证得,因此要考虑用等积式或等比式过渡.注意到mnab,mn2=anbn,下面只需证anbn =nenf,这可以由aen与bfn相似证得.证明:连结am、bm,ab为直径,amb =90.又mnab,amnmbn.mn2=anbn.又fnab,e +eab =90.e =abc.又ena =fnb =90,aenfbn.=,即anbn =nenf.mn2 =nenf,即mn为ne和nf的比例中项.【例4】如图2-1-11,在rtabc中,bca =90,以bc为直径的o交ab于e点,d为ac的中点,连结bd交o于f点.求证: =.图2-1-11思路解析:要证=,虽然四条线段分别在bef与bcf中,但这两个三角形一个是钝角三角形,另一个是直角三角形,不可能相似,故只能够借助中间比.证明:连结ce,bc为o的直径,bfc =90,bec=90.又acb =90,bce =a.又bf =bce,bfe =a.befbad.=.bfc =bca,cbd=cbd,cbfdbc.=.又ad =cd,=.【例5】ab为o中的一条长为4的弦,p为o上的一动点,cosapb =.问是否存在以a、p、b为顶点的面积最大的三角形,试说明理由.若存在,求出这个三角形的面积.思路解析:因为ab为定值,要使sapb最大,只要ab边上的高最大,所以p在弓形的最高点即可,又apb为定值,根据圆周角定理的推论,想到构造直角三角形,使其一锐角等于apb.图2-1-7解法一:存在以a、p、b为顶点的面积最大的三角形.图2-1-12cosapb=,apb90.ab不是直径.过o作ab的垂线并延长,分别交优弧和劣弧的中点于p、q,且pd、qd为弓形的高,p为优弧中点时,apb面积最大,作o直径ac,连结bc,则abc =90,apb=c,cosapb =cosc = =.设bc=x,则ac =3x,在rtabc中,ab =4,由勾股定理ac2 =ab2+bc2,(3x)2 =42+x2,解得x =2.bc=2,ac =32. .ao =oc,ad =bd, .pd = po + od = + =.sapb = abpd =42=.解法二:同解法一,p为优弧中点时,apb面积最大