高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用学案（含解析）新人教A版选修22.doc

1.7.1定积分在几何中的应用学习目标1会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积2在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解知识链接1怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可2当f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积sf(x)dx.(2)当xa，b时，若f(x)g(x)0时，由直线xa，xb(ab)和曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积sf(x)g(x)dx.要点一不分割型图形面积的求解例1求由抛物线yx24与直线yx2所围成图形的面积解由得或所以直线yx2与抛物线yx24的交点为(3,5)和(2,0)，设所求图形面积为s，根据图形可得s3(x2)(x24)dx3(x2x6)dx.规律方法不分割型图形面积的求解步骤：(1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；(4)计算得所求面积跟踪演练1求由曲线y2xx2，y2x24x所围成的图形的面积解由得x10，x22.由图可知，所求图形的面积为s(2xx2)(2x24x)dx(3x26x)dx(x33x2)4.要点二分割型图形面积的求解例2求由曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解法一画出草图，如图所示解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)所以sdxdxdxdx692.法二若选积分变量为y，则三个函数分别为xy2，x2y，x3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)所以s1(2y)(3y)dy0(2y)y2dy1(22y)dy0(2yy2)dy(2yy2)(21)2.规律方法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限跟踪演练2计算由曲线y2x，yx3所围成图形的面积s.解作出曲线y2x，yx3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组得交点横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为sdxx3dxxx4.要点三定积分的综合应用例3设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积解(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.又f(x)2x2，所以a1，b2.f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，即x22xc0有两个相等实根，所以44c0，即c1.故f(x)x22x1.(2)画函数yf(x)的图象如图由图象知所求面积为s1(x22x1)dx.规律方法由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合跟踪演练3在曲线yx2(x0)上某一点a处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，试求切点a的坐标及过切点a的切线方程解设切点a(x0，x)，切线斜率为ky|xx02x0.切线方程为yx2x0(xx0)令y0，得x，s0x2dxx0x2(2x0xx)dxx.x，x01.切点为(1,1)，切线方程为y2x1.1在下面所给图形的面积s及相应表达式中，正确的有()sf(x)g(x)dxs(22x8)dxsf(x)dxf(x)dx sg(x)f(x)dxf(x)g(x)dx a b c d答案d解析应是sf(x)g(x)dx，应是s2dx(2x8)dx，和正确故选d.2曲线ycos x(0x)与坐标轴所围图形的面积是()a2 b3 c d4答案b解析s0cos xdxcos xdxsin xsin sin 0 sin sin 10113.3由曲线yx2与直线y2x所围成的平面图形的面积为_答案解析解方程组，得曲线yx2与直线y2x交点为(2,4)，(0,0)s(2xx2)dx0.4由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成平面图形的面积是_答案解析由图形可得s(x245x)dx(5xx24)dx44243444.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.一、基础达标1用s表示图中阴影部分的面积，则s的值是()a. f(x)dxb.c f(x)dxf(x)dxd.f(x)dxf(x)dx答案d解析xa，b时，f(x)0，阴影部分的面积sf(x)dxf(x)dx.2若yf(x)与yg(x)是a，b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线xa，xb所围成的平面区域的面积为()a.f(x)g(x)dx bg(x)f(x)dxc|f(x)g(x)|dx d答案c解析当f(x)g(x)时，所求面积为f(x)g(x)dx；当f(x)g(x)时，所求面积为g(x)f(x)dx.综上，所求面积为|f(x)g(x)|dx. 3由曲线yx21、直线x0、x2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()a.(x21)dxb.c|x21|dxd.(x21)dx(x21)dx答案c解析y|x21|将x 轴下方阴影反折到x轴上方， 其定积分为正，故应选c.4(2013北京卷)直线l过抛物线c：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与c所围成的图形的面积等于()a. b2 c d答案c解析抛物线x24y的焦点坐标为(0,1)，因为直线l过抛物线c：x24y的焦点且与y轴垂直，所以直线l的方程为y1，由，可得交点的横坐标分别为2,2.所以直线l与抛物线围成的封闭图形面积为2dx.故选c.5由曲线y与yx3所围成的图形的面积可用定积分表示为_答案(x3)dx解析画出y和yx3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为s(x3)dx.6由两条曲线yx2，yx2与直线y1围成平面区域的面积是_答案解析如图，y1与yx2交点a(1,1)，y1与y交点b(2,1)，由对称性可知面积s2.7求曲线y6x和y，x0围成图形的面积解作出直线y6x，曲线y的草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组得直线y6x与曲线y交点的坐标为(2,4)，直线y6x与x轴的交点坐标为(6,0)因此，所求图形的面积ss1s2dx(6x)dxx8.二、能力提升8(2013江西改编)设f(x)则f(x)dx等于()a. b c d不存在答案c解析数形结合，如图，f(x)dxx2dx(2x)dx.9若两曲线yx2与ycx3(c0)围成图形的面积是，则c等于()a. b c1 d答案b解析由得x0或x.0xcx3，s0(x2cx3)dx0.c3.c.10从如图所示的长方形区域内任取一个点m(x，y)，则点m取自阴影部分的概率为_答案解析根据题意得：s阴3x2dxx31，则点m取自阴影部分的概率为.11求抛物线yx24x3及其在点a(1,0)和点b(3,0)处的切线所围成图形的面积解由y2x4得在点a、b处切线的斜率分别为2和2，则两直线方程分别为y2x2和y2x6，由得两直线交点坐标为c(2,2)，ssabcf(x24x3)dx222.12设点p在曲线yx2上，从原点向a(2,4)移动，如果直线op，曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为s1、s2.(1)当s1s2时，求点p的坐标；(2)当s1s2有最小值时，求点p的坐标和最小值解(1)设点p的横坐标为t(0t2)，则p点的坐标为(t，t2)，直线op的方程为ytx.s1(txx2)dxt3，s2(x2tx)dx2tt3.因为s1s2，所以t，点p的坐标为.(2)ss1s2t32tt3t32t，st22