高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 空间距离的常见题型与解法素材 北师大版选修2-1.doc

空间距离的常见题型与解法在立体几何中涉及到的距离有六种，即点与点，点到线，点到面，线与线，线与面，面与面；但归结起来都是求点与点，点到线，点到面这三种距离。一、传统方法求空间距离求距离的传统方法和步骤是：一作，二证，三计算；即先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算。其中第二步的证明容易被忽视，应引起重视。求空间距离常见的题型和方法有1运用三垂线定理及逆定理求点到直线的距离【例如】平面内有是平面外一点，且到平面的距离是40，求点到的距离。apbcod解：如图所示，作平面于，则，是的外心，又，点落在边的中点上，作于，由三垂线定理知，就是点到的距离。又且，在中，所以点到的距离为。2运用两平面垂直的性质定理，求作点到面的距离【例如】如右图所示，二面角等于，平面内一点到平面的距离的长为，求点到平面的距离。amndc解：作于，连结，则，为二面角的平面角，则，平面，平面平面，作于，则的长为所求，在中，斜边，所以，即点到平面的距离为。abcd3体积法求点到平面的距离【例如】如图所示，为外一点，两两互相垂直，求到平面的距离。解：由得：，因此点到平面的距离为。4解答求距离的问题，注意距离之间的相互转化，有时能取到意想不到的效果【例如】已知如图所示，边长为的菱形中，平面，是的中点，求点到平面的距离。abchgodpe【分析】若直接过作平面的垂线，垂足难以确定，故考虑用间接求法，至少有以下两条途径：解法一：注意到点在上，可将到平面的距离转化为到平面的距离的一半。由平面，有平面平面，故过在平面内作交于，则，于是，所求距离为。解法二：将到平面的距离转化为线面距离，再转化为点面距离，连结，设与交于点，则平面，于是直线上任意一点到平面的距离都相等，由平面，有平面平面。若过作平面，则垂足必定在上，故线段即为所求。，到平面的距离为，即到平面的距离为。二、向量法求空间距离问题1求两点间的距离方法1（向量运算法）：利用公式=求解。方法2（向量坐标法）：若p(x,y,z)，p2 (x2,y2,z2)是空间任意两点，则=。例1 如图1，已知矩形abcd，ab=4,bc=3,沿对角线ac把矩形abcd折成30的二面角，求b、d两点间的距离 。 图1 解法1：设b、d在ac上的射影分别为e、f，则 beac，dfac。ac=5,be=df=,ce=af=,ef=ac-2af=,又=150,=()2=+2()=+2=,=.解法2：设b、d在ac上的射影分别为e、f,则beac，dfac.由解法1可知be=df=，ef=,过f在面abc内作fgac。以f为原点，直线fg、fc分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系f-xyz（如图1），则b(),d(), =.2、求点到直线的距离设p是直线l外一点，q是直线l上任意一点，若是直线l的一个与点p和直线l所确定的平面平行的法向量（与直线垂直的向量），则向量在法向量方向上的射影长d=就是点p到直线l距离. 例2 已知四边形abcd是边长为4的正方形，e、f分别是ab和ad的中点，gc平面abcd，且gc=2，求点b到直线fg的距离。解：建立如图2所示的空间直角坐标系c-xyz，则g(0,0,2), e(-2,-4,0)，f(-4,-2,0)，b(0,-4,0), =(0, 4, 2), =(-4, 2,0),=(4,2,2).设=(x,y,z)是直线fg的一个与平面bfg平行的法向量,则由，得=0,即2x+y+z=0，又设=(m,n,l) 是平面bfg的法向量, 则由及，得，即 ，解之得，取n=2, 得=(1,2,-4).由，得=0,即x+2y-4z=0, 由,得,取z=1, 得=(-2,3,1). 点b到直线fg的距离为d=。3求直线到与它平行的平面的距离设直线l与平面平行，是平面的法向量，p是直线l上任意一点，q是平面内任意一点，则向量在平面法向量方向上的射影长就是直线l到平面的距离，即d=。例3：如图3，在正三棱柱abc-a1b1c1中，ab=8，aa1=6，d为ac的中点，求直线ab1到平面c1bd的距离。解：连结b1c交bc1于o，则o为b1c的中点，连结od，则odab1，ab1平面bc1d.取a1c1的中点d1，则d1d面abc，又由正三角形性质知bdac.以d为原点，直线db、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系dxyz,则b、0、0、）、c1（0，4，6），a（0，-4，0）,=、0、0、）=(0、4、6、),= （0，-4，0）,设为平面bc1d的法向量，则由及，得x=0且4y+6z=0,x=0,y=,取z=2,得.d=4、求点到平面的距离设是平面的法向量，ao是平面的一条斜线段，o为斜足，则向量在平面的法向量方向上的射影长d=就是点a到平面的距离。例4已知a(2,3,1)、b(4,1,2)、c(6,3,7)、d(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点d到平面abc的距离。 解：设是平面abc的一个法向量，则由及,得 -2x-2y+z=0 解之得 y= 2x+2y+5z=0， z= -,取x=3,得,于是点d到平面abc的距离为d=.例5在例2中，求点b到平面efg的距离。解：建立如图2所示的空间直角坐标系c-xyz，则g(0,0,2),e(-2,-4,0),b(0,-4,0), f(-4, -2,0)，=(-2,-4,-2),=(-4,-2,-2),=(-2,0,0). 设平面efg的法向量为，则由，及得-2x-4y-2z=0 x=y-4x-2y-2z=0，解之得 z= -3y ,取y=1,得,于是点b到平面efg的距离为d= 。5求两平行平面间的距离设,是平面的法向量，p、q分别是、内任意一点，则向量在平面法向量方向上的射影长d=就是、的距离。例6：已知正方体abcd-abcd的棱长为a，求平面abc与平面adc的距离解法1：如图4，显然平面abc平面adc，易证db平面abc，所以向量是平面abc的法向量。设，则=a，且=0，=+=-，=,平面abc与平面acd的距离为d=.解法2：如图4，显然平面abc平面adc，易证db平面abc，所以向量是平面abc的法向量。建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz，则a(a,0,0),a(a,0,a),b(a,a,0), d (0,0,a).=(0,0,a),=(-a,-a,a)。 平面abc与平面acd的距离为d=.6求异面直线间的距离设向量是异面直线a、b的公垂线的方向向量, p、q分别是ab上任意一点，则向量在公垂线方向向量方向上的射影长即为异面直线a、b的距离，即d=。例7：已知正方体abcd-a/b/c/d/的棱长为1，求直线da/与ac的距离.解：建立如图5所示的直角坐标系d-xyz，则=(1,0,1)，=(0,0,1).设与da/和ac都垂直的单位向量,则x2+y2+z2=1 ， x+z=0， y=x， 由 ，得 -x+y=0，即 z=-x.代入,得x=, d=。例8如图6，在长方体abcd-a1b1c1d1中ab=4，ad=3，aa1=2，m