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文档简介

三次函数性质的探索云南省昆明市粤秀中学段培吉提要 本文通过对一次函数、二次函数知识的回顾，利用几何画板为工具，对三次函数的单调性、有没有极值的问题进行探索研究，经过大量的实验验证，对函数的单调性、有没有极值可以运用函数f(x)的导数函数的判别式进行判断从而找到了三次函数的性质，为进一步探索高次函数的性质提供了方法依据为解决高考中三次函数单调性、极值以及借助极值证明不等式等问题找到了有效的解决方法主题词 探索 三次函数的性质 极值我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k0时函数单调递增；当k0、,在图6中a0、或a0、或a0、或a0根据以上性质可以灵活解决三次函数问题：例1、设，讨论关于x的方程的相异实根的个数？解：分析：要讨论方程根的个数，直接求解非常困难，根据题意，需把方程转化为函数问题，即方程变成，设，这转化为讨论函数与交点的个数函数的导数的两根为(如图16) 函数的极大值是，函数的极小值是，（1）当或时，函数与只有一个交点，即方程只有一个根（2）当或时，函数与只有两个交点，即方程只有两个根（3）当时，函数与有三个交点，方程有三个根图16例2、已知函数是R上的奇函数，当时f(x)取得极值（1）求f(x)的单调区间和极大值； （2）证明对任意，不等式恒成立解：（1）函数f(x)是奇函数，所以，函数f(x)的导数依题意得,解得所以导数，(如图17)时，函数f(x)单调递增；时，函数f(x)单调递减；所以（2）如图17 对任意， 函数f(x)单调递减，所以图17一般地在导数有两根且时，在处；在处，对任意都有 因此，我们利用信息技术能够轻松研究三次（高次）函数的性质，同时验证了高次函数与导数知识的关系，使学生既学到了新知识，又巩固了旧知识，充分利用好信息技术的直观显
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