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数学中的整体思想 昌黎县第三中学张丽艳 整体思想概述 整体思想方法是指用 集成 的眼光 把某些式子或图形看成一个整体 把握已知和所求之间的关联 进行有目的 有意识的整体处理来解决问题的方法 从整体出发的处理方法 体现了一种着眼全局 通盘考虑的整体观念 中学数学中 整体思想的应用广泛 运用整体思想方法的三部曲 从整体出发 高瞻远瞩地统帅局部 通过对局部的研究 酝酿总体解决的方案 回到整体 实现解决整个问题的总目标 整体思想方法在代数式的化简与求值 解方程 组 几何解证等方面都有广泛的应用 整体代入 整体运算 整体设元 整体处理 几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用 知识点中的整体思想 第五章数量与数量之间的关系第六章整式的加减第九章二元一次方程组第十章整式乘法与因式分解第十一章三角形第十四章分式第十五章轴对称第十六章勾股定理第十七章实数第二十二章四边形第二十五章一次函数第二十八章一元二次方程第二十九章相似形 整体思想的具体分析第五章数量与数量之间的关系1 求含绝对值的式子的值或解含绝对值的方程例 已知 求的值 分析 应把 和 分别看做一个整体 由已知条件讨论出 和 的正负 从而求出原式的值 解方程 分析 同样要把 看做一个整体 因为它的绝对值等于 所以 从而可以求出方程的解 2 求代数式的值 整体代入法 1 代数式 x 3的值为7 则代数式2 2x 3的值为 分析 若用常规方法求代数式的值 必须由条件求出x的值 而目前并不能由 x 3 7求出x的值 但可以考虑用整体代入处理 把 x 7 3 4整体代入求值 这样将十分简捷 解 因为 x 3 7 所以 x 4 所以2 2x 3 2 x 3 2 4 3 5 2 若x 2y 3z 10 4x 3y 2z 15 则x y z 分析 若想由条件求出的值 再代入代数式计算 则无法求出结果 若用 整体代入 法尝试 将会出现柳暗花明又一村的现象 解 因为x 2y 3z 10 4x 3y 2z 15所以 x 2y 3z 4x 3y 2z 25所以5x 5y 5z 25所以x y z 5 3 如果 x 1 0 那么代数式 2 7的值 分析 由题可知 若采用一般方法解方程求 目前来说不可能且十分繁琐 但通过观察发现 故可把看作一个整体 由条件式给出的值 尔后整体代入即可 解 由题意 得 x 2 7 7 第六章整式的加减 一 整体代入法已知x 2m 1 y 1 2m 计算的值 思路分析 本题注意到x y x y的值都很简单 而原式用 x y x y 表示也很容易 用整体代入法 解 x 2m 1 y 1 2m x y 2 x y 4m 原式 x y x y 2 4m 16 8m 规律总结 把计算式中的某部分看作整体或先作适当变形转化 再整体代入 是经常使用的一种方法 二 整体转化法 计算 3a 2b c 5 3a 2b c 5 思路分析 将 3a 5 看成相同的项 将 2b c 看成相反的项 问题就转化平方差公式 计算起来就方便了 解 原式 规律总结 将整式运算中的相同 或相反 的部分作为整体进行转化 可使问题简易获解 三 整体加减法 已知求的值 思路分析 所给条件式中的两个未知数 难以求出各自的值后代入求值 因此可通过整体加减的方法求出待求式的值 解 将已知两式左右两边分别相加 两边再同乘以2得52 规律总结 对所给条件式难以或无法直接求出各自的值 则可以通过变换条件式 整体求出待求式的值 四 整体合并法 计算4 x y 3 x y 2 x y 3 x y 思路分析 本题按照常规解法是先去括号 再合并同类项 但这样做比较麻烦 若把x y x y各看作一个 整体 先行合并 再去括号 就方便快捷多了 解 原式 4 3 x y 2 3 x y 7 x y x y 7x 7y x y 6x 8y 规律总结 括号内所含内容相同的多项式运算 可将括号看作一个 整体 先行合并 再去括号 可简化运算 五 整体去括号 化简 思路分析 受一个 号影响 应变号 受两个 号影响 不变号 规律总结 在含有多重括号的运算式中 括号里的项是否变号 只与该项以及该项所在的各层括号前面的 号有关 而与其前面的 号无关 因此只要从外向里逐层确定影响该项的 号的个数就可整体去括号 当某项受奇数个 号影响时该项变号 受偶数个 号影响时该项不变号 第九章二元一次方程组 一 巧用 整体思想 妙解方程组 整体代入或整体加减例1 解方程组 析解 由 得把看成一个整体 代入 得到解得 再代入 得到 从而得到原方程组的解为 例2 解方程组 解析 此例若用 正宗 的代入或加减 往往会使解题过程复杂冗长 运算量大 稍有疏忽便会前功尽弃 若能根据方程组的具体特点 灵活运用 整体思想 这一方法与技巧 可使问题化繁为简 迅捷获解 先把方程 化简整理得 注意到方程组的常数项之间的关系 将方程 整体代入 消去常数2800 得到之间的倍数关系 从而很容易求出方程组的解 将方程 整体代入 消去常数2800 得到整理代入 消去x得到 350所以原方程组的解为 2450 350 例3 解方程组 解析 此题数字较大 若按常规加减 运算量大 费时费功 仔细观察方程组的未知数的系数具有对称轮换的特征 可采用整体相加减 使系数绝对值减小 从而可以得到一个同解的简易方程组 新颖别致 简捷明快 二 整体思想在应用题中的应用 有甲 乙 丙三种商品 若甲购得3件 乙购得7件 丙购得1件共需315元 若购得甲4件 乙10件 丙1件共需420元 现购得甲 乙 丙各1件 共需多少元 解 设购甲 乙 丙1件分别需要x元 y元 z元 由题意得 3x 7y z 3154x 10y z 420此题方程个数少于未知数 若按常规思考 则望题兴叹 不可能把x y z都出来 但深思慎虑 原来题目要求的只是x y z的值 并非要把x y z分别求出来 于是对方程组作如下变形 3 2 得到x y z 145本例若直接设未知数 很难列出等量关系 故采用间接设法 它虽改变了解题的角度 但体现了 整体处理 的思想 第十章整式乘法与因式分解 一 因式分解要注意整体思想方法的运用分解因式 1 x m x m y m x m y m x m x m y m m x m y m x m y x m m y 2 4 x y 1 分析 所给的多项式没有公因式可提 也不能直接利用公式法分解 观察其结构特点 可视 x y 为一个整体 将 4 x y 1 整理为 4 x y 4后能用完全平方公式分解 二 整式乘法中的整体思想 已知求的值 分析 这道题从已知条件出发都求不出 的值 但整体利用己知条件就迎刃而解了 由幂的逆运算可知 第十一章三角形 1 如图 DBC 2 ABD DCB 2 ACD 试说明 A与 D之间的关系 评注 本例应用整体思想得到 A与 D之间的关系 主要应用三角形的内角 三角形内角和定理结合整体思想进行说理 第十四章分式整体代入在分式化简求值中的妙用1 已知求下列各式的值 2 已知 求的值 分析 把看作一个整体 先整理再做 第十五章轴对称 轴对称和轴对称图形的联系体现了整体思想 把成轴对称的两个图形看成一个整体就是轴对称图形 例 观察下图中各组图形 其中成轴对称的为 只写序号 第十六章勾股定理 利用勾股定理求面积中的整体思想例 如图 已知Rt ABC的周长为2 其中斜边为2 求这个三角形的面积 分析 若要直接求出a与b的值 要用二次方程求解较繁 但由联想到运用整体思想 将ab视为一个整体 问题便可顺利获解 解 在Rt ABC中 根据勾股定理 得即又由已知得所以解得所以 第十七章实数 观察全局 就是从全局上对已知条件进行观察分析 综合考察 从而得出解决问题途径 例 若实数满足则从全局看 式子要有意义 实数需满足 解得x 进一步得到y 2 第二十二章四边形 整体思想就是根据问题的整体结构特征 把一组图形视为一个整体去观察 分析 研究问题的一种方法 运用它往往可以起到化繁为简的作用 例 如图 菱形ABCD的面积为8 则阴影部分的面积为 第二十五章一次函数 一次函数中把一些相关量做为整体来处理的思想 例 已知y与x 1成正比例 如果x 4时 y 2 那么x 3时 y 分析 把x 1当作整体 设函数解析式为y k x 1 在代入x y的值 求k 第二十八章一元二次方程 解一元二次方程的方法中的因式分解法运用的是整体思想 教材九年级上39页例5 1 2 分析 把 x 1 与 x 5 当做整体 移项后 方程 1 可用提公因式法 方程 2 可用平方差公式 第二十九章相似形 单元整体思想在教学中的应用把相似三角形的三条判定定理作为一般三角形相似的判定方法整体学习 使学生对相似三角形判定方法在短期内形成完整的认知结构 有利于学生面对选择时 作出正确 合理的判断 有利于领悟学