高中数学 第1章 统计案例 1.2 回归分析知识导航学案 苏教版选修12.doc

1.2 回归分析知识梳理1.回归直线方程为_，其中=_，=_.2.回归直线不能精确地反映x与y之间的关系，y的值不能由x完全确定，它们之间是_关系，y=a+bx+,其中_是确定性函数，称为_，将_称为线性回归模型.3.随机误差产生的主要原因有：（1）所用的确立性函数不恰当引起的误差；（2）_；（3）_.4.对于x、y随机取到的n对数据(xi,yi)(i=1,2,n),样本相关系数的计算公式为=_=_.5.线性相关系数的性质：（1）1;(2)越接近于_，y的线性相关程序越强；（3）越接近于_，y的线性相关程序越弱.知识导学 在研究两个变量之间的关系时，首先可以利用散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据. 作相关检验的依据可以利用样本相关系数,当0时，表明x与y正相关；0时，表明x与y正相关，0.75时，变量x、y有很强的相关关系，因而求回归直线方程才有意义，也才可以预测取值的情况.解：作线性相关性检验，=（159+160+157）=158.8.=(158+159+156)=159.1-10=（1592+1602+1572)-10158.82=47.6-=（159158+160159+157156)-10158.8159.1=37.2-10=（1582+1592+1562）-10159.12=56.9因此=0.71由于0.71接近于1，表明x与y有较强的相关关系，因而求回归直线方程有必要.又=0.78=159.1-0.78158.8=35.2由此得回归直线方程为=35.2+0.78x;回归系数=0.78反映出当母亲身高每增加1 cm时女儿身高平均增加0.78 cm, =35.2可以理解为女儿身高中不受母亲身高影响的部分，当母亲身高为161 cm时预报女儿身高为：=0.78161+35.2=160.78161 cm,这就是说当母亲身高为161 cm时，女儿身高大致也为161 cm.绿色通道：判断x与y是否具有线性相关关系，还可以先作出散点图，从点的分布特征来判定是否线性相关. 黑色陷阱：有些同学不对问题进行必要的相关性检验，直接求x与y的回归直线方程，它就没有任何实际价值，也就不能发现变量x与y间的变化规律，另外，要注意计算的正确性.【变式训练】某班5名学生的数学和化学成绩如下表所示，对x与y进行回归分析，并预报某学生数学成绩为75分时，他的化学成绩是多少？学生学科abcde数学成绩（x)8876736663化学成绩（y)7865716461解：对x与y作相关性判断.=(88+76+73+66+63)=73.2=(78+65+71+64+61)=67.8=882+762+732+662+632=27 174=782+652+712+642+612=23 167=8878+7665+7173+6466+6163=25 054-=27 174-573.22=382.8-=25 054-573.267.8=239.2-=23 167-567.82=182.8r=0.904.由于r=0.904接近于1，表明两个变量之间存在着线性相关关系.0.625,=67.8-73.20.625=22.05=0.625x+22.05 当x=75时，69.故次时他的化学成绩为69分.【例2】 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：零件数x(个）102030405060708090100加工时间y(个）626875818995102108115122（1）y与x是否具有线性相关关系；（2）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少.思路分析：这是一个回归分析问题，应先进行线性相关检验或作散点图来判断x与y是否具有线性相关关系，如果线性相关，才可以求解后面的问题，否则就使得求回归直线方程没有意义.要作相关性检验，应先利用.= 求出样本相关系数，利用当0时，两个变量正相关；当0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.解：（1）列出下表：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 6401035012200=55, =91.7 =0.999 8由于=0.999 80.75,因此x与y之间有很强的线性相关关系，因而可求回归直线方程.（2）设所求的回归直线方程为=.则有=0.668=91.7-0.66855=54.96.因此，所求的回归直线方程为y=0.668x+54.96.(3)这个回归直线方程的意义是当x每增大1时，y的值约增加0.668，而54.96是y不随x增加而变化的部分，因此，当x=200时，y的估计值为y=0.668200+54.96=188.56189.因此，加工200个零件时所用的工时约为189个.【变式训练】 对于x与y有如下观测数据：x1825303941424952y356788910(1)作出散点图；（2）对x与y作回归分析；（3）求出x对y的回归直线方程_；（4）根据回归直线方程，预测y=20时的x值.解：（1）作出散点图（如下图所示）（2）作相关性检验.(18+25+30+39+41+42+49+52)=37(3+5+6+7+8+8+9+10)=7.=182+252+302+392+412+422+492+522=11 920=32+52+62+72+82+82+92+102=428=183+255+306+397+418+428+499+5210=2 257-=2 257-8377=185-=11 920-8372=968.-=428-872=36r=0.991由于r=0.9910.75,因此，认为两个变量有很强的相关关系；（3）回归系数=0.191=7-0.19137=-0.067.所以y对x的回归直线方程=0.191x-0.067;（4）当y=20时，有20=0.191x-0.067,x=105.因此在y的值为20时，x的值约为105.【例3】 某种图书每册的成本费y(元）与印刷册数x(千册）有关，经统计得到数据如下，x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检测每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系，如有，求出y对x的回归方程.思路分析：本题与前面的问题有所不同，y与x之间不具有线性回归关系，因而是非线性回归问题，对于非线性回归问题有时不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与必修1中学过的基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数）图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使其得到解决.对于本题不妨设变量u=，题意要求对u与y作相关性检验，如果他们具有线性相关关系，就可以进一步求出y对u的回归直线方程，这时再回代u=，就得到了y对x的回归曲线方程.解：首先作变量置换u=,题目所给数据变成如下表所示的数据.ui10.50.330.20.10.050.030.020.010.005yi10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15可以求得，= =0.999 8由=0.999 80.75,因此，变量y与ui间具有较强的线性相关关系，并且=8.973, =1.125.最后回代a=可得=1.125+因此，y与x的回归方程为=1.125+.【变式训练】 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列成下表，试建立y与x之间的回归方程.温度x/21232527293235产卵数y/个711212466115325解：根据收集的数据，作散点图，如下图.从图中可以看出，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条直数函数曲线y=附近，其中c1、c2为待定的参数，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z=lgy,则变换后样本点分布在直线z=bx+a(a=lnc1,b=lnc2)的附近，这样可以利用线性回归建立y与x的非线性回归方程了.变换的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.由上表中的数据可得到变换的样本数据表如下表：x21232527293235y1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784可以求得线性回归直线方程为=0.272x-3.843因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为=e0.272x-3.843,另一方面，可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=的附近，其中c3、c4为待定参数，因此可以对温度变量进行变换，令t=x2,然后建立y与t之间的线性回归方程.从而得到y与x之间的非线性回归方程.下表是红铃虫的产卵数和对应温度的平方的线性回归模型拟合表，作出相应的散点图如下图所示：t4415296257298411 0241 225y711212466115325从图中可以看出，y与t的散点图并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次函数y=c3x2+c4来拟合x与y之间的关系，因此利用=e0.272x-3.843来拟合效果较好.问题探究问题:在利用线性回归模型解决实际问题的时候，应怎样合理建模，形成规律，总结方法呢？导思:在解决实际问题时，如何理解实际背景呢？线性回归模型与一次函数有什么不同呢？产生随机误差的原因是什么呢？探究:在解决实际问题时，常需要推断，在推断时，不能仅凭主观意愿作出结论，而是需要理清实际背景，要通过实验来收集数据，并根据独立性检验的原理做出合理的推断. 散点图可以形象地展示两个变量的关系，把数据用散点图表示出来，可以直观地了解两个变量的关系，常用横坐标表示解释变量，用纵坐标表示预报变量. 在散点图上画回归直线，回归直线与