抛物线与四边形

中考专题复习抛物线与四边形解抛物线与四边形相关的问题，特殊四边形的性质与判定是解题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解题的关键。以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊的四边形，有以下基本形式：（1） 抛物线上的点能否构成平行四边形;（2） 抛物线上的点能否构成矩形、菱形或正方形；（3） 抛物线上的点能否构成梯形;下面，我就通过几个具体的实例来探讨解析抛物线与四边形结合的综合题。一、 抛物线与平行四边形将二次函数与方程（组）、平行四边形的知识有机的结合在一起。这类试题难度较大，解这类试题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用平行四边形的有关性质定理与判定定理，二次函数的知识，并充分挖掘题目中的隐含条件，用分类讨论的方法分析答案有几种可能。例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标分析：（1）设出抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，由于抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点，把三点代入表达式，联立解方程组，求出a、b、c（2）要分类讨论AB是边还是对角线两种情况，AB为边时，只要PQAB且PQ=AB=4，进而求出P点坐标，当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分，进而求出P点坐标 解答：（1）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c根据题意，得： 解得： 所求抛物线的表达式为y= （2）AB为边时，只要PQAB且PQ=AB=4即可。 又知点Q在y轴上，点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1，P2而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，此时P1（4，）,P2（-4,7）当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）综上，满足条件的P为P1（4，）,P2（-4,7）,P3（2，-1）二、 抛物线与矩形、菱形或正方形我们解决这类问题要能够熟练运用配方法求抛物线的对称轴、顶点坐标以及与x轴、y轴的交点坐标，并且要充分理解矩形、菱形和正方形的性质和判定，注意它们之间的联系与区别。先由数到形，后由形到数，用运动变化的观点去观察分析，巧妙的运用几何图形的特征规律，正确地利用数形结合和转化思想，使二次函数问题简单化、具体化。例2、如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）根据对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4），设所求抛物线的解析式为y=，代入A、B坐标求出解析式，然后求得顶点坐标；（2）由设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y0，即-y0，-y表示点E到OA的距离，又由S=2SOAE=2OA|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；（3）由平行四边形OEAF的面积为24，可得方程：+28x-24=24，解此方程可求得E点坐标，然后分析OE与AE的关系，即可判定平行四边形OEAF是否为菱形解答：（1）y=（2）点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合）y=y0，即-y0，-y表示点E到OA的距离OA是OEAF的对角线，S=2SOAE=2OA|y|=-6y=因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），所以自变量x的取值范围是1x6(3) 根据题意，当S=24时，即=24化简，得=解得x1=3，x2=4故所求的点E有两个，分别为E1（3，-4），E2（4，-4），点E1（3，-4）满足OE=AE，所以平行四边形OEAF是菱形；点E2（4，-4）不满足OE=AE，所以平行四边形OEAF不是菱形；当OAEF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，-3），而坐标为（3，-3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形三、 抛物线与梯形解这类综合题我们要充分理解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，而题目提供点的坐标是抛物线与特殊梯形结合的桥梁，通常将点的坐标转化为求对应线段的长，有时也需要借助一次函数和二次函数的解析式联立方程组求交点坐标，把几何知识与代数知识相联系，并转化为相应的计算。例3，已知，在RtOAB中，OAB90，BOA30，AB2若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处（1）求点C的坐标；（2）若抛物线ya+bx（a0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）可在直角三角形BOA中，根据AB的长和AOB的度数，求出OA的长根据折叠的性质可知：OC=OA，COA=60，过C作x轴的垂线，用三角形函数求出C点的坐标；（2）根据（1）求出的A，C点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）根据等腰梯形的性质，如果过M，P两点分别作底的垂线ME和PQ，那么CE=PQ，可先设出此时P点的坐标，然后表示出M点的坐标，CE就是C点纵坐标与M点纵坐标的差，QD就是P点纵坐标和D点纵坐标的差由此可得出关于P点横坐标的方程，可求出P点的横坐标，从而求出P点的坐标解答：（1）C点坐标为（，3）（2）（3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C MP轴，设垂足为N，因为BOA300，所以ONP（，）作PQCD，垂足为Q，MECD，垂足为E把x=代入得：M（，），E（，）同理：Q（，），D（，1） 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CEQD即，解得：，（舍）P点坐标为（，）存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时