高中数学 341 基本不等式的证明 教案 苏教版必修5.doc

3.4.1基本不等式的证明（1）教学目标：一、知识与技能1探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；2会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；4理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释二、过程与方法1.通过实例探究抽象基本不等式；2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质 三、情感、态度与价值观1通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；2培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程教学难点：理解基本不等式等号成立条件及“当且仅当时取等号”的数学内涵 教学方法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式；从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动学生的学习热情；定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案 教学过程：一、问题情景1.提问：与哪个大？ 2.基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）二、学生活动问题1我们把“风车”造型抽象成上图在正方形中有4个全等的直角三角形设直角三角形的长为，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：.问题2那4个直角三角形的面积和呢？生答问题3好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有.三、建构数学1重要不等式：一般地，对于任意实数 ，我们有，当且仅当时，等号成立问题4：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明：所以 注意强调：当且仅当时, 注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；（2） 公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛 问题5：将降次为,降次为,则由这个不等式可以得出什么结论？2基本不等式：对任意正数，有当且仅当时等号成立（学生讨论回答证明方法）证法1：当且仅当即时，取“”证法2：要证，只要证，只要证，只要证因为最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当即时，取“=”号证法3：对于正数有， 说明： 把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 注意：（1）基本不等式成立的条件是：；（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）；（图1）（3）的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径基本不等式几何意义是：“半径不小于半弦”；（4）当且仅当时，取“”的含义：一方面是当时取等号，即；另一方面是仅当时取等号，即；（5）如果，那么（当且仅当时取“”）；（6）如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数，的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项四、数学运用 1例题例1 设为正数，证明下列不等式成立：（1）；（2）.证明（1）为正数，也为正数，由基本不等式得原不等式成立（2）均为正数，由基本不等式得，原不等式成立例2 已知为两两不相等的实数，求证：.证明为两两不相等的实数，以上三式相加：，所以，例3 已知都是正数，求证.证明由都是正数，得： ， ，即.2练习（1）已知都是正数，求证： ；（2）已知都是正数，求证：；（3）思考题：若，求的最大值.五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1算术平均数与几何平均数的概念；2基本不等式及其应用条件；3不等式证明的三种常用方法小结正数的算术平均数不小于它们的几何平均数六、课外作业课后练习第2题，第6题；习题3.4第1题，第2题，第3题高效能学习的八大学习方法方法一：目 标 激 励法 成就天才的必备素质就是远大志向，明确目标，勤奋刻苦，持之以恒，百折不挠。作为一名学生，要想在学习的道路上一路高歌，战胜各科学习困难，在考试中脱颖而出，就必须树立远大的理想，制定明确的学习目标和切实可行的计划，在日常学习中勤奋苦学，孜孜不倦，持之以恒，面对学习中上的挫折，百折不挠，勇往直前，并掌握一套正确的学习方法，科学合理地安排好自己的时间，只有这样，才能到达成功的理想彼岸。 方法二：统筹计划学习法正像建造楼房先要有图纸，打仗先要有部署一样，成功有效的学习也必须制定好一套切实可行的计划。所谓统筹计划学习法，就是学习者为达到一定的学习目标，根据主客观条件而制订学习步骤的一种学习方法。统筹计划学习法包括四个方面：一是学习目标，二是学习内容，三是时间安排，四是保证落实的措施。只有综合考虑这四个方面，才能订出切实可行的规划。同时计划要因人而异，因事而异，并根据执行情况，适当及时调整。方法三：兴趣引导法使学习兴趣化，是获取成功的特别重要的法则。有的同学虽然很努力地学习，但是却对学习没有兴趣。凡是这种情况，学习效率都差得很，往往是事倍功半，效率不高。所以，千万不要只知道积极地去学，光顾着学，傻学，而要想办法培养自己的兴趣。只有将学习积极性转化为学习兴趣之后，你才有可能实现学习效率的飞跃。方法四：高效率学习法 作为学生，谁能够高效地管理时间，科学地利用时间，抓住时间的脉搏，谁就能创造学业的成功，成就人生的辉煌。爱时间就是爱生命，爱生命的每一部分。谁把握住时间，谁就拥有一切。时间就是生命。“一个人一生只有三天：昨天、今天和明天。昨天已经过去，永不复返；今天已经和你在一起，但很快就会过去；明天就要到来，但也会消失。抓紧时间吧，一生只有三天！”现在是你们人生的黄金时期，也是学习知识、吸取知识最有效率的时期，你们应善于管理时间珍惜时间，不虚度年华，使生命失去原本的灿烂光彩。方法五：刨根质疑学习法 学习的过程是由一个“无疑有疑解疑无疑”不断循环往复的过程。学须善思，思后存疑，疑后问，问后知。所以，我们在日常生活和学习过程中，要善于思考，培养“凡事问一个为什么”的习惯。作为一个学生，我们要善于发现问题，敢于向权威挑战，同时又要虚心求教，不耻下问，不懂的问题多问老师，向同学请教。积极参加各种有关学习的交谈、讨论、学习兴趣小组，创设一个与别人交流的良好平台，合作解决问题。方法六：笔 记 学 习法笔墨学习法又称笔记法，是利用记笔记学习的一种方法。在日常的读书、听课、复习的时候，对有一定价值和意义的材料、知识点、问题迅速及时地标记出来，记下来，然后整理成笔记，这对于巩固知识，积累材料，提高学习成绩都具有十分重要的意义。方法七：全 面 预 习法打无准备的仗必输，没有预习的功课一定不会好。要想有一个高效的课堂学习，必须牢牢抓住课前预习这个关键环节。常言道：“凡事预则立，不预则废。”“预”，即准备。预习就是在教师讲课之前，学生阅读教材及相关的内容，为新课学习做好必要的知识准备。我们在预习的时候，要大体了解书本内容，思考重点，发现难点，注意方法，增强预习的主动性、针对性，培养良好的预习习惯。方法八：高 效 听 课法 一个人的学生时代，大部分的学习时间是在课堂中度过的。在短短的十几年时间里每个学生几乎接受和继承了人类几千年所积累的知识中最基本、最精华的部分，由此可见课堂学习的重要性。一个学生学习的好坏，成绩的高低，关键在于课堂学习。充