高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.1.2 指数函数学习导航学案 新人教B版必修1.doc

3.1.2 指数函数自主整理1.指数函数的定义函数yax(a0且a1,xr)叫做指数函数.定义中对a0且a1的规定，是为了保证定义域为实数集，且具有单调性.2.指数函数的图象和性质a10a0且a1）的图象关于y轴对称.6.底数a对图象特征的影响可这样来叙述：当a1时，底数越大，函数图象就越靠近y轴,递增的速度越快；当0a1时，底数越小，函数图象就越靠近y轴,递减的速度越快.7.指数函数性质口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松，反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减.无论函数增和减，图象都过(0,1)点.名师解惑指数函数中为什么规定底数a0且a1？剖析：很多同学学习了指数函数的定义后，对底数的限制a0,且a1总是迷惑不解.突破方法是分析不加限制可能出现的“混乱局面”.若a0时，ax=0；当x0时，ax无意义.若a=1，则对于任何xr，ax是一个常量1，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a0且a1，这样对于任何xr，ax都有意义,且ax0.讲练互动【例题1】将三个数1.50.2，1.30.7，（）按从小到大的顺序排列.分析:当两个幂指数底数相同时,要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数,借助函数的单调性来比较大小.解：先比较1.50.2即（）0.2和（）的大小，考查指数函数y=（）x，由于底数在区间（0，1）内，所以指数函数y=（）x在（-，+）上是减函数.由0.2=,得1（）0.2（）.另一方面，由于1.31，0.70，得1.30.71.所以（）1.50.21.30.7.绿色通道处理比较大小的问题的一般方法是：先和特殊值比，比如说和0比，和1比，然后将同范围（如大于0）的数化成同一函数在自变量x取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系.变式训练1.比较下列各组数的大小:(1)()0.1和()0.2;(2)()和();(3)0.8-2和();(4)a和a(a0,a1).分析:此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值,此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小,而(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂,可构造指数函数来比较大小.解：(1)y=()x在(-,+)上是减函数,又-0.1-0.2,故()0.1(),即()().(3)由0.8-21而()().(4)当a1时,aa;当0aa.【例题2】求下列函数的定义域与值域：（1）y=2；（2）y=（）|x|；（3）y=4x+2x+1+1；（4）y=2.解：（1）因为指数函数y=2x的定义域为xr，值域为y（0，+）.若x0，则y1；由于y=2中的0，所以y1.所以所求函数的定义域是x|xr且x3，值域为y|y0且y1.（2）因为y=（）|x|中的|x|0，所以xr，0y1.所以所求函数的定义域为r，值域为y|0y1.（3）将已知函数整理成y=4x+2x+1+1=（2x）2+2（2x）+1=（2x+1）2.由此可知定义域为r，值域为y|y1.（4）已知函数可化为y=2，由0,得x1.又由0，得y=21.所以定义域为x|x1，值域为y|y1.绿色通道本题求定义域均为求自然定义域的问题，即要求表达式有意义时相应的x的取值范围（集合）；求值域的问题均为复合函数的值域问题，而求复合函数值域的一般步骤是先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域.变式训练2.（2007吉林高三期末统考，文13）函数f(x)=的定义域是_.解析：由题意得()x-10，即()x1，得x0.答案：（-,03.函数y=的定义域是_.解析：解得x0且x1.答案：(-,0)(0,1)(1,+)【例题3】若函数y为奇函数.（1）确定a的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性.分析:本题可通过奇函数的定义，得f（-x）+f（x）=0，推导出a的值，而求函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围；值域求解通常可利用单调性逐步求解.解：先将函数化简为y=a.（1）由奇函数的定义，可得f（-x）+f（x）=0，即a=0，2a+=0.a=.（2）y，2x-10.函数y的定义域为x|x0.（3）方法一（逐步求解法）:x0，2x-1-1.又2x-10，02x-1-1或2x-10.或，即函数的值域为y|y或y.方法二（利用有界性）:由y，可得2x.2x0，0.可得y或y，即函数的值域为y|y或y.（4）当x0时，设0x1x2，则y1-y2.0x1x2，122.2-20，2-10，2-10.y1-y20.因此y在（0，+）上递增.同样可以得出y=在（-，0）上递增.绿色通道研究复合函数的单调性可通过首先弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成，然后根据“同增异减”法则作出判断.所以本题我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.当x0时，2x单增，2x-1单增，单减，单增.y在（0，+）上递增.求复合函数y=fg(x)的值域，应分层进行，即首先求出内函数u=g(x)的值域，它就是外函数y=f(u)的定义域，然后根据y=f(u)的单调性再求出原函数的值域.变式训练4.求函数y=3的单调区间和值域.分析:应注意函数y=3不是指数函数，而是指数函数与二次函数的复合函数，不能直接根据指数函数y=3u来判断其单调性，解本题时，应避免会忽视y0而得出值域的错误结果.解：设y=3u，u=-x2-x.因函数u=-(x+)2+在(-,上为增函数，在,+)上为减函数，故当x1x2时，u1u2.又指数函数y=3u是增函数,从而y1y2，即原函数的递增区间是(-,.类似地，由x1x2得u1u2.于是y