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第十八讲：幂级数收敛域把函数展成幂级数的练习题参考答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1若收敛半径为， 的收敛半径为（）则的收敛半径为（ D）A、 B、 C、 D解：的收敛半径是收敛半径为， 的收敛半径为中较小的 即2若在收敛，则在内，（A） A、绝对收敛 B、条件收敛C、发散 D、可能收敛也可能发散解：由定理知，若在收敛则在内绝对收敛 选A3把（其中）时，其收敛半径R（A）A B C D解： 1 R 选A4的收敛区间（考虑端点）是 （C）A（1，1） B-1,1C D解：（1）的半径 ；的半径 故R；（2）在发散，收敛 故原级数在发散 选C5设，则（A）A BC D解：（1） 故选A6幂级数在的和函数（ B）A B C D解：令 故选B二、填空题（每小题4分，共24分）7幂级数 解：收敛半径8幂级数在x3处条件收敛，则该级数的收敛半径R 解：级数在x3条件收敛，当绝对收敛当级数发散 故R39幂级数的收敛半径 解：，3 故R10幂级数 解： 故11)展成的幂级数，则= 解：收敛域12将展成幂级数，则 解：（1）（2）收敛区间三、计算题（每小题8分，共64分）13求的收敛半径与收敛域解：（1） 收敛半径R2（2）当2时，发散当2时，收敛（莱布尼兹级数）（3）收敛域为14求的收敛半径与收敛域解：（1）收敛半径R3 有 即 （2）当5时，发散（调和级数） 当时，收敛（莱布尼兹级数） （3）级数的收敛域为15求的收敛半径与收敛域解：（1） ， ， R2（2）当时发散（3）级数的收敛域（2，2）16将展成（）幂级数（）解：（1）变形（2）展开（3）收敛域（即收敛区间）117将展开成x的幂级数解：解法（1）收敛域： 解法（2）（）18将展开成的幂级数解：（1）变形（2）展开：（3）收敛区间故有收敛区间19将解：（1）变形（2）展开（3）收敛域（即收敛区间） 20利用逐项积分将展开成麦克劳林级数，并求其收敛域解：（1）（2）当时 收敛（莱布尼兹级数）当时，收敛 故有收敛域四、证明题（本题8分）21利用的麦克劳林展开式，证明：证：（1）令(2) 收敛区间：（3）令移项： 证毕五、综合题（每小题10分，共30分）22求幂级数的收敛域解：（1）变形：原式=（2）（3）当时，发散当时，发散故级数的收敛区间：23将的幂级数解：（1）变形：（2）展开：（3）收敛区间：收敛区间24将展开成x的幂级数，并由此求之值解：
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