高中数学 第2章 推理与证明 2.3 数学归纳法知识导航 苏教版选修22.DOC

2.3 数学归纳法知识梳理 一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，用数学归纳法证明分两步：(1)_；(2)_.知识导学 与自然数n有关的命题，我们无法对所有的自然数逐一验证，可用数学归纳法证明，对于数学归纳法要求的两步缺一不可，第一步是基础，第二步是循环递增，直至无穷，学习时要正确理解，特别是在前步的基础上，下一步如何成立，是不是证明了这两步就对所有的自然数都成立？结合例子来理解.疑难突破为什么证明(1)(2)两步就能说明对于所有的nn0都成立呢？剖析：这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0，这样假设就有了存在的基础，至少k=n0成立，根据假设和合情推理，证明n=k+1时也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n0=1成立，又证明了n=k+1成立，这就一定有n=2时成立，n=2成立,则n=3成立,n=3成立,则n=4也成立，如此反复，以至无穷，对所有nn0的整数就都成立了.数学归纳法用两步就可以巧妙地解决了无限问题，这就是数学方法的神奇. 数学归纳法这两步缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了. 用数学归纳法证明有关问题的关键，在于第二步，即n=k+1时成立是利用假设n=k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论，推证出n=k+1时成立，而不是直接代入，否则n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明.典题精讲【例1】 证明12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n怎样变化，即由n=k到n=k+1时，左右两边各增添哪些项.证明：(1)当n=1时，左边=12-22=-3右边=-1(21+1)=-3，左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.则当n=k+1时，左边=12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+2(k+1)-12+2(k+1)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2=(k+1)2k+1-4(k+1)=(k+1)(-2k-3)=-(k+1)2(k+1)+1=右边,当n=k+1时，等式成立.由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立.绿色通道：可用数学归纳法来证明关于自然数n的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必须验证，证明n=k+1时，必须用假设n=k成立的结论证明.变式训练:用数学归纳法证明.证明：(1)当n=1时，左边=,右边=,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立,即=成立.则当n=k+1时，左边=右边.当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知等式恒成立.【例2】数列an满足a1=,前n项和sn=an.(1)写出a2、a3、a4;(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明.思路分析：研究数列问题，可先由前n项归纳猜想，再证明.解：(1)令n=2,a1=,s2=a2,即a1+a2=3a2.a2=.令n=3,得s3=a3,即a1+a2+a3=6a3,a3=.令n=4,得s4=a4，即a1+a2+a3+a4=10a4,a4=.(2)猜想an=,下面用数学归纳法给出证明.当n=1时,a1=结论成立.假设当n=k时,结论成立，即ak=,则当n=k+1时,sk=ak=,sk+1=,即sk+ak+1=.ak+1=.当n=k+1时结论成立.由可知，对一切nn*都有an=成立.绿色通道：由递推关系或前n项和公式求通项可求出前n项，再归纳猜想，用数学归纳法证明数列的通项公式.变式训练:对于数列an,若an+1=an2-nan+1,nn*,当a1=2时,求a2、a3、a4并猜想an的一个通项公式.解：a2=a12-1a1+1=22-12+1=3,a3=a22-2a2+1=32-23+1=4,a4=a32-2a3+1=42-34+1=5,猜想an=n+1(nn*).证明：(1)当n=1时，a1=1+1=2成立.(2)假设当n=k时，ak=k+1成立,则当n=k+1时,ak+1=ak2-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k+2.当n=k+1时结论成立.由(1)(2)可知，an=n+1(nn*)成立.【例3】 试用数学归纳法证明n3-3n2+8n-6能被6整除.思路分析：与自然数n有关的命题都可以用数学归纳法证明.证明：(1)当n=1时，13-312+81-6=0能被6整除.(2)假设当n=k时结论正确，即k3-3k2+8k-6能被6整除，则当n=k+1时,(k+1)3-3(k+1)2+8(k+1)-6=(k3-3k2+8k-6)+3k(k+1)+6.3k(k+1)和6都能被6整除,当n=k+1时结论正确.由(1)(2)可知命题成立.绿色通道：用数学归纳法证明整除性问题时，注意构造出归纳假设来，用上假设证明出.变式训练:求证：n3+(n+1)3+(n+2)3(nn*)能被9整除.证明：(1)当n=1时，13+(1+1)3+(1+2)3=36能被9整除.(2)假设当n=k时命题成立,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,则当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+27k+27=k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+3k+3能被9整除.由(1)(2)可知命题成立.问题探究问题：是否存在常数a、b，使等式对于一切nn*都成立.导思：存在性问题先假设存在，然后求出符合条件的量.本题求a、b两个量只需两个等式即可，而已知条件是对于一切nn*都成立，即有无数个等式,只需取两特定n值即可求出.求出得到的a、b对于一切nn*是否成立，需用数学归纳法证明.像这种存在性问题可由特殊求出a、b，即不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法加以证明对所有的nn*都成立.探究：假设存在a、b使得