高中数学重要知识点.doc

高中数学重要知识点目录第一章集合、常用逻辑用语1第二章函数2第三章导数及其应用5第四章三角函数6第五章平面向量、复数8第六章数列9第七章不等式10第八章直线与方程、圆与方程11第九章圆锥曲线与方程12第十章立体几何13第十一章统计、概率、推理证明、算法15第十二章计数原理、二项式定理、概率分布列16第十三章选修4 17第一章集合、常用逻辑用语1集合的概念：（1）集合的特征：互异性、确定性、整体性、无序性（2）常用集合：自然数集，正整数集或，有理数集，实数集，复数集（3）元素与集合的关系：若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作（4）集合的表示：列举法，描述法，图，区间：， ，2集合之间的关系：如果集合中的每一元素都是集合的元素，则称是的子集，记作或规定如果且，则称是的真子集，记作或 含有个元素的集合共有个子集（其中有个真子集） 3集合的运算：集合的运算交集并集补集定义A=图示 性质4四种命题：原命题：若则，逆命题：若则，否命题：若则，逆否命题：若则 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假 5充要条件：如果，则称是的充分条件，是的必要条件 如果且，则称是的充分不必要条件； 如果且，则称是的必要不充分条件；如果且，则称是的充要条件；如果且，则称是的既不充分又不必要条件6简单的逻辑联结词：或（）：一真则真；且（）：一假则假；非（）：与一真一假 注意：否命题与命题的否定不同！否命题条件结论都否定，命题的否定只否定条件，结论不变7全称量词与存在量词：“”的否定为“”； “”的否定为“”第二章函数1函数的概念：设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫从A到B的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合y | y= f(x),xA 叫做函数的值域2单调性：增函数：；减函数：注意：单调区间不能随便并3奇偶性：偶函数图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称注意：奇、偶函数定义域关于原点对称若是奇函数，且有意义，则4最值：（1）定义：设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在x0A,使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0),那么，称f(x0)为函数y=f(x)的最大值，记为；设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在x0A,使得对于任意的xA，都有f(x) f(x0),那么，称f(x0)为函数y=f(x)的最小值，记为（2）性质：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则如果函数y=f(x)在a，c上递增，在c，b上递减,则，5初中学过的函数（1）正比例函数与一次函数的图象都是直线，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减（2）反比例函数：定义域是，值域是：图象是一、三象限的双曲线，在和上单调递减；：图象是二、四象限的双曲线，在和上单调递增（3）二次函数：一般式；顶点式（顶点是）；交点式（与轴交于点、）图象值域单调性在上单调递减在上单调递增在上单调递增在上单调递减顶点、对称性顶点，图象关于直线成轴对称图形图象与轴的交点，二次函数的图象与轴有两个交点；，二次函数的图象与轴有一个交点；，二次函数的图象与轴没有交点 6指数与指数函数（1）指数的概念：；（2）性质：；（3）指数函数：函数叫指数函数，它的定义域是图象性质(1)定义域：R(2)值域：(3)过定点（0，1）（因为）(4)时，；时，(4)时，；时，(5)在 R上是增函数(5)在R上是减函数7对数与对数函数（1）对数定义：，基本性质：真数大于零； ； ； ； 运算性质：如果，则； R）换底公式：，其中（2）对数函数：函数叫对数函数，它的定义域是图象性质(1)定义域：(2)值域：(3)过定点(1,0) （因为）(4)时，；时，(4)时，；时，(5)在上是增函数(5)在是减函数8幂函数（1）概念：函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数（2）图象与性质：当时，在上是增函数；当时，在上是减函数9图象变换： （1）平移变换：函数的图像：把函数的图像向左或向右平移个单位；函数的图像：把函数的图像向上或向下平移个单位 （2）对称变换：函数的图像：将函数的图像关于轴对称；函数的图像：将函数的图像关于轴对称；函数的图像：将函数的图像关于原点对称（3）翻折变换：函数的图像：将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分；函数的图像：将函数的图像的轴右边部分沿轴翻折到轴左边替代原轴 左边部分，并保留在轴右边部分10函数与方程（1）函数零点概念：使函数的值为的实数称为函数的零点（2）零点存在定理：若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，则函数在区间上有零点第三章导数及其应用1公式：（是常数），；2运算性质：；， （是常数）； （理）若，则3应用： （1）导数的几何意义：函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率 （2）导数与单调性：是增函数，是减函数 （3）导数与极值：极大值极小值 （4）求函数在区间上的最值：第一步，求在区间上的极值； 第二步，将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最值 注：也可先解得，再直接比较的大小 若函数在区间上有唯一极值，则极值一般也是最值第四章三角函数1三角函数的概念（1）任意角的概念：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角四三二一四三二一 已知角所在象限，可利用此图确定所在象限（2）弧度制：角度制与弧度制的换算主要抓住；弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：（3）任意角的三角函数： 定义：点是角的终边上的任一点， 结论：，即点的坐标为特殊角的三角函数值：不存在不存在三角函数值的正负：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正（4）同角三角函数关系：，（5）诱导公式：=， =， 其中=， =， =， =， = =， =， =， =， =2三角函数的图象与性质函数图象定义域值域最值当时有最大值当时有最小值当时有最大值当时有最小值无周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间：减区间：增区间：减区间：增区间：对称性对称中心为： 对称轴为：对称中心为：对称轴为：对称中心为：周期性：对于函数，如果存在一个非零的常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期函数、的周期都是； 函数的周期是图象变换：五点作图法：作函数的简图，可令分别等于3三角恒等变换（1）两角和与差的三角函数：；（2）二倍角公式：；（3）公式变形： 辅助角公式：，降幂公式：；4解三角形（1）直角三角形中各元素间的关系：在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa三边之间的关系（勾股定理）：a2b2c2锐角之间的关系：AB90边角之间的关系：sinAcosB，cosAsinB，tanA（2）斜三角形中各元素间的关系：边与边关系：任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边边与角的关系：1）正弦定理： （R为外接圆半径）变形：，2）余弦定理：a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形：， 3）大边对大角，（3）三角形的面积公式：absinCbcsinAacsinB（是内切圆半径）第五章平面向量、复数1向量概念：（1）零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的单位向量：模为1个单位长度的向量（2）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量规定：与任意向量平行记作2向量的线性运算（1）向量加法：三角形法则：设，则+=平行四边形法则：两个向量要共起点 规定：（2）向量的减法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（3）实数与向量的积：； 当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反规定：3平面向量的坐标表示： （1）平面向量基本定理：如果是两个不共线向量，那么对于任一向量，有且只有一对实数使若，则；若，则 （2）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，该平面内的任一向量可表示成，则把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)（3）向量坐标与点坐标的关系：设，则，（4）平面向量的坐标运算：若，则，；若=(x,y)，则=(x, y)；若，则4向量的数量积（1）向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积，（2）向量数量积的性质及其坐标表示：设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2 模：|a|夹角：cos abab05复数的概念：（1）形如的数叫复数其中与分别叫复数的实部与虚部 （2）复数是纯虚数 （3）复数相等： （4）复数的模： （5）共轭复数：若，则6复数的运算：（1）加法：， （2）减法：，（3）乘法：，（4）的乘方：，（5）除法：7复数的几何意义：复数加减法的几何意义类似于向量的加减法第六章数列1等差数列（1）定义： 或、（2）通项公式：叠加法（3）性质：；若是等差数列，公差是，则、 都是等差数列，它们的公差分别是、（4）求和公式：倒序相加法2等比数列：（1）定义： 或、（2）通项公式：累乘法（3）性质：；若是等比数列，公比是，则、 都是等比数列，它们的公比分别是、（4）求和公式：当时，；当时，错位相减法3与的关系：当时，；当时，第七章不等式1不等式性质：（1）对称性：；（2）传递性：； （3）加法：，； （4）乘法：， （5）乘方：，（是正奇数）； （6）开方：2一元二次不等式与二次函数、二次方程之间的关系：判别式一元二次方程的实数根有两相异实数根（）有两相等实数根方程没有实数根二次函数图像xyox2x1xyox1=x2xyo一元二次不等式解集一元二次不等式解集3线性规划：（1）确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法结论：当，表示直线右边，表示直线的左边；当，若表示直线上方，若则表示直线的下方（2）求线性目标函数的最值：当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小即将直线向上平移，则的值越来越大；直线向下平移，则的值越来越小当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大即将直线向上平移，则的值越来越小；直线向下平移，则的值越来越大4基本不等式：（当且仅当时取等号）； ，； 注意：一正、二定、三相等若是负数，则可乘负号或提取负号，转化为正数；若使用基本不等式后得不到定值，则可凑项或凑系数；若等号不能成立，则利用导数证明函数单调性使用多个不等式或多次使用不等式时，更要注意等号能否成立第八章直线与方程、圆与方程1、直线的倾斜角、斜率：（1）倾斜角：对于一条与轴相交的直线，把轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与轴平行或重合的直线的倾斜角为倾斜角的范围是（2）斜率：过两点 的直线的斜率（3）倾斜角与斜率的关系：当直线的倾斜角不是时，；当直线的倾斜角等于时，直线的斜率不存在2、直线方程：确定直线方程需两个互相独立的条件名称方程说明适用条件点斜式(x0，y0)直线上的已知点，k斜率直线的倾斜角不等于90斜截式k斜率b直线在轴的截距直线的倾斜角不等于90两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个已知点直线与两坐标轴不垂直截距式+=1a直线在轴的截距b直线在轴的截距直线不过原点且直线与两坐标轴不垂直一般式，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不能同时为零注意：（1）过点且垂直轴的直线方程是；过点且垂直轴的直线方程是 （2）求直线方程时，最后结果要写成一般式或斜截式3、两条直线的平行与垂直若，均存在斜率且不重合，则 /； 4、中点坐标、距离公式：（1）中点坐标：若，线段的中点是，则（2）两点间距离：若，则若轴，则；若轴，则（3）点到直线的距离：，：，则到的距离为：（4）平行线间距离：若，则5圆的方程：（1）圆的标准方程：圆心是，半径是 （2）圆的一般方程：圆心是，半径是7直线与圆的位置关系：直线，圆， 直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交8圆与圆的位置关系（表示圆心距，表示两圆半径）：外离；外切；相交；内切；内含第九章圆锥曲线与方程1椭圆、双曲线的定义：平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线平面内到一个定点和到一条定直线（不在上）的距离之比等于常数，当时点的轨迹是椭圆；当时点的轨迹是双曲线2椭圆、双曲线的标准方程和几何性质图形标准方程的关系c2a2b2c2a2+b2性质范围axa，bybxa或xa，yR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(a,0)，A2(a,0)轴、焦距长轴A1A2长为2a；短轴B1B2长为2b，焦距F1F22c实轴A1A2长为2a；虚轴B1B2长为2b，焦距F1F22c离心率ee准线方程渐近线3抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（不在上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线离心率4抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点准线方程范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR第十章立体几何1平面的基本性质：公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等3直线与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行把直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 (线线平行线面平行)即：，性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行线线平行)即：，mm(3)直线与平面垂直定义：若一条直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则说直线l与平面互相垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 (线线垂直线面垂直)即：a，b，la，lb，abPl性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行即：，m4平面与平面的位置关系（1）平面与平面的位置关系：平行、相交（2）平面与平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(线面平行面面平行)即：，性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行(面面平行线线平行)即：，m（3）平面与平面垂直定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直(线面垂直面面垂直)即：l，l 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面(面面垂直线面垂直)即：， 5空间几何体的概念：棱柱：两个底面是平行且全等的多边形，侧面是平行四边形，侧棱平行且相等直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心，侧面是等腰三角形，侧棱相等正四面体：棱长都相等注意：正四面体与正三棱锥不同，立方体与正四棱柱不同6侧面积和体积：，V柱Sh，V锥Sh，V台，其中S、S为底面积，h为高若球的半径为R，则它的表面积；体积7空间向量与立体几何（1）空间向量：与平面向量类似 共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序数组，使得推论：设空间任意一点和不共线三点，若点满足（其中 ），则四点共面空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在惟一的有序实数组，使得推论：设是不共面的四点，则对空间任意一点，都存在惟一的有序实数组，使得坐标表示：设，则，坐标运算及应用：设，则，； 模： ，夹角：；距离：设，则；平行：；垂直：（2）位置关系：直线的方向向量：直线上的向量以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量 平面的法向量：如果表示非零向量的有向线段所在的直线垂直平面，那么称向量垂直平面， 记作此时把向量叫做平面的法向量设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，是平面内两个不共线的向量，则平行 垂直与与，与（3）空间角：异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角异面直线所成角的范围是，斜线与平面所成角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成角斜线与平面所成角的范围是，补充说明：直线垂直于平面，则它们所成角是；直线和平面平行，或直线在平面内，则它们所成角是二面角的平面角：如图在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则叫做二面角的平面角二面角的范围是.注意:求二面角的平面角时要“看清”二面角是锐角，还是钝角 第十一章统计、概率、推理证明、算法1抽样方法：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）、系统抽样（等距抽样）、分层抽样（按比例抽样）2频率分布直方图：频率小矩形的面积组距小矩形的高，所有矩形的面积之和为13总体特征数的估计： (1)平均数： (2)方差：；标准差：4古典概型：如果一次试验的等可能基本事件共有个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是如果某个事件包含了其中个等可能基本事件，那么事件发生的概率为5几何概型： 6互斥事件：（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 （2）对立事件：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件7推理：（1）合情推理：归纳推理、类比推理（2）演绎推理：三段论 8证明：（1）直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明称为直接证明综合法：特点：由因导果推证过程为：已知条件结论分析法：特点：执果索因推证过程为：结论已知条件（2）反证法是一种常用的间接证明方法，反证法证题的步骤：反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立9数学归纳法公理：一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，如果：(1)当n取第一个值n0(例如n0时等)时结论正确； (2)假设nk(kn0，kN*)时结论正确，证明当nk1时结论也正确那么命题对于从n0开始的所有正整数n都成立10基本算法语句 （1）赋值语句：“”表示将的值赋给 （2）输入语句：“ ”表示输入的数据依次送给；输出语句：“ ”表示输出运算结果If 条件 Then 步骤AElse 步骤BEnd If （3）条件语句： (4)循环语句：While 循环体End WhileDo循环体Until End DoFor I From “初值”To“终值”Step“步长”循环体End For第十二章计数原理、二项式定理、概率分布列1两个计数原理（1）分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第类方式中有m1种不同的方法，在第类方式中有m2种不同方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有Nm1m2mn种不同方法（2）分步计数原理：完成一件事情需要分成n个步骤，做第步有m1种不同的方法，做第步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有Nm1m2mn种不同的方法（3）两个原理的区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，且任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成2排列与组合（1）排列：从n个不同元素中，取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数An(n1)(n2)(nm1)，其中n，mN*，且mn全排列数公式：An(n1)(n2)21n！规定（2）组合：从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数C(n，mN*，且mn)C1组合数的性质：CC；CCC，3二项式定理（1）二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)它一共有n1项，其中的Canrbr叫二项展开式的第项，用Tr1表示，即Tr1CanrbrC(r0,1，n)叫二项式系数（2）二项式系数的性质：对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等即CC增减性与最大值：当时，；当时，当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间