1-1_约束和广义坐标解析.ppt

1 1约束和广义坐标 第一章拉格朗日 Lagrange 方程 一 牛顿力学的局限性和分析力学的建立 回顾几个概念 1 物体受力 主动力 约束力 促使物体运动或有运动趋势的力 如 重力 风力等 限制物体运动或有运动趋势的力 如 示例 1 W FRB FRA 示例 2 2 牛顿运动方程 约束力不能事先就给出确切的表达式 而是取决于约束本身的性质 主动力和物体的运动状态 难点 牛顿力学局限一 必须知道作用在物体上的所有的力 合力 其显式的得到一般很困难 实际工程技术中迫切需要解决的问题 用约束方程表示约束情况 约束方程 联立求解 牛顿力学局限二 力学现象 非力学现象 如电磁学等 内在联系 综上 很自然地促使人们探究力学的其他表述形式 分析力学 分析力学优势一 约束越多 引入广义坐标 分析力学优势二 加速度 力等矢量 分析力学 电动力学 量子力学 统计物理 相对论 牛顿力学以牛顿定律为基础 借助矢量和几何图形研究力学问题 优点 直观性强 缺点 处理质点组问题 特别是受约束问题特别复杂 分析力学用严格的数学分析方法研究力学问题 分析力学到底是什么样子地 从一个个新的概念入手 慢慢接近了解它 那么 二 约束及分类 对于质点组 或称为力学体系 独立坐标数目 3n 独立坐标数目 3n 约束 对力学体系中质点的位置和速度所施加的限制条件 约束方程 对限制条件的数学表达式 根据限制条件的性质将约束进行分类 1 完整约束和非完整约束 1 完整 几何 约束 仅限制体系在空间的几何位置的约束 约束方程 Example 单摆 常见的完整约束 质点被约束在某一曲线或曲面上运动 则约束方程就是该曲线或曲面的方程 x y 与速度无关 2 非完整 运动 约束 对体系的位置和速度都进行限制的约束 约束方程 Example 圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯滚动 2 定常约束和不定常约束 1 定常 稳定 约束 约束方程中不显含时间 2 不定常 不稳定 约束 约束方程中显含时间 Example 单摆为定常约束 若悬点以匀速v沿x轴运动为不定常约束 3 双侧约束和单侧约束 1 双侧 不可解 约束 体系始终不可脱离的约束 等式 2 单侧 可解 约束 体系可在某个方向脱离的约束 不等式 Example 单摆中用柔绳代替刚性杆 Example 单摆 今后仅讨论完整 不可解约束力学体系的运动问题 体系 受到 完整 约束数目 一个自由质点 0 n个自由质点 0 n个非自由质点 k 自由度 3 3n 3n k s 3 3n 3n k 三 广义坐标 独立坐标数目 因此 我们完全可以用s个独立坐标确切的描述力学体系的位置 这些独立量不一定是质点的笛卡儿坐标 有时选择某一种其他坐标会更加方便 于是 人们提出了广义坐标的概念 广义坐标 足以描述 具有s个自由度的 系统位置的任意量称为该体系的广义坐标 常记作 广义速度 广义加速度 1 广义坐标中的 坐标 的含义已超出几何学的范畴 它的真正含义就是 独立参量 2 广义坐标可以是线坐标 也可以是角坐标或其他物理量 如面积 体积 电极化强度 磁化强度等 3 相应的 广义速度既可以是线速度 也可以是角速度 或者其他物理量对时间的变化 4 为描述同一系统 广义坐标的选择并不是唯一的 一般地 有许多组广义坐标都可以完全确定一个给定系统的状态 如何选择最合适的一组广义坐标 多做练习积累经验 说明 5 n个质点形成的力学体系的3n个非独立坐标 一般是笛卡儿坐标 可以用s个独立的广义坐标表示出来 或 故广义坐标个数为 广义坐标可取为 或 或 等 例题 1 给出单摆的广义坐标 解 广义坐标个数为 这里 质点个数 另外有约束方程 故有 约束个数 注意 在确定广义坐标时 首先要确定广义坐标的个数s s的确定不一定非得使用 还可以判断该质点需要几个独立坐标即可确定其位置 则广义坐标的个数s即等于几 如下一例题 解 两个质点m1 m2只分别需要1个独立坐