高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介学案 新人教A版选修44.doc

四柱坐标系与球坐标系简介1借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法2与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较，体会它们的区别与联系1柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系oxyz，设p是空间任意一点，它在oxy平面上的射影为q，用(，)(0,02)来表示点q在平面oxy上的极坐标这时点p的位置可用有序数组_(zr)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点p的柱坐标，记作_，其中_(2)空间点p的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为_【做一做11】 设点p的直角坐标为(1,1,3)，则它的柱坐标是_【做一做12】 柱坐标满足方程2的点所构成的图形是_2球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系oxyz，设p是空间任意一点，连接op，记|op|r，op与oz轴正向所夹的角为，设p在oxy平面上的射影为q，ox轴按逆时针方向旋转到oq时所转过的最小正角.这样点p的位置就可以用有序数组_表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点p的球坐标，记作_，其中_(2)空间点p的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为_在测量实践中，球坐标中的角称为被测点p(r，)的方位角，称为高低角【做一做2】 已知点m的球坐标为(4，)，则它的直角坐标是_，它的柱坐标是_答案：1(1)(，z)p(，z)0，02，z(2)【做一做11】 (，3)【做一做12】 以oz轴所在直线为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱侧面2(1)(r，)p(r，)r0，0，02(2)【做一做2】 (2,2,2)(2，2)1空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别剖析：它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的在直角坐标中，我们需要三个长度x，y，z，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要，z或者r，.空间直角坐标：设点m为空间一已知点我们过点m作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为p，q，r，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的一点m就惟一地确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点m的坐标，并依次称x，y和z为点m的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示)坐标为(x，y，z)的点m通常记为m(x，y，z)这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点m和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系如果点m在yoz平面上，则x0；同样，zox面上的点，y0；如果点m在x轴上，则yz0；如果m是原点，则xyz0等几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同2建立空间坐标系的方法剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系题型一 直角坐标与柱坐标的互化【例1】 设点m的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标分析：把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式求出，即可反思：由直角坐标求柱坐标，可以先设出点m的柱坐标为(，z)，代入变换公式求；也可以利用2x2y2求，利用tan 求，在求时，要特别注意角所在的象限，从而确定的取值题型二 直角坐标与球坐标的互化【例2】 已知点m的球坐标为(2，)，求它的直角坐标分析：利用变换公式求解，其中r，cos ，tan .反思：由直角坐标求球坐标时，可先设点m的球坐标为(r，)，利用变换公式求出r，即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos来求需要特别注意的是在求和时，要先弄清楚点m所在的位置题型三 求空间一点的坐标【例3】 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置a，请建立适当的坐标系，把点a的坐标求出来反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度题型四 柱坐标系、球坐标系的应用【例4】 已知点p1的球坐标是p1(2，)，p2的柱坐标是p2(，1)，求|p1p2|.分析：可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离反思：柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决题型五 易错辨析【例5】 设点m的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标错解：点m的球坐标为(，)答案：【例1】 解：设点m的柱坐标为(，z)，则有解之得，.因此，点m的柱坐标为(，1)【例2】 解：设点m的直角坐标为(x，y，z)，则有点m的直角坐标为(1,1，)【例3】 解：以圆形体育场中心o为极点，选取以o为端点且过正东入口的射线ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点a与体育场中轴线oz的距离为203 m，极轴ox按逆时针方向旋转，就是oa在地平面上的射影，a距地面的高度为2.8 m，因此我们可以用柱坐标来表示点a的准确位置点a的柱坐标为(203，2.8)【例4】 解：设p1的直角坐标为p1(x1，y1，z1)，则p1的直角坐标为(，)设p2的直角坐标为p2(x2，y2，z2)，则p2的直角坐标为(，1)|p1p2|.【例5】 错因分析：球坐标和柱坐标与直角坐标互化的公式记忆混淆，错用公式正解：r2，zrcos ，cos .又tan 1，.点m的球坐标为(2，)1在空间直角坐标系oxyz中，方程x1表示()a点 b直线 c平面 d以上都不对2在空间球坐标系中，方程r2(0，02)表示()a圆 b半圆 c球面 d半球面3点m的直角坐标为(，1，2)，则它的球坐标为()a bc d4空间点p的柱坐标为(6，4)，则点p关于z轴的对称点为_5把下列用柱坐标表示的各点用直角坐标表示出来(1)(2,0，2)；(2)(，)6把下列用球坐标表示的各点用直角坐标表示出来(1)(2，)；(2)(2，)答案：1c由空间点的直角坐标的定义知，方程x1表示与x轴垂直且到原点的距离为1的平面2d由空间点的球坐标的定义可知，方程r2(0，02)表示半球面3a设m的球坐标为