对数与对数函数.doc

中小学1对1个性化辅导专家高中数学对数与对数函数【知识梳理】一. 对数的概念1. 如果（a0且a1），则b叫做以a为底N的对数，记作.叫做对数的底数，叫做真数.（，a0且a1，N0）2. 常用对数：通常我们把以10为底的对数叫做常用对数，记为.3. 自然对数：把以无理数为底的对数称为自然对数，记为.二对数的性质及运算规则 1. 性质（、都是正数，且、） 2. 运算法则： 三对数函数的图像和性质 1. 一般地，我们把函数叫做对数函数.其中为自变量. 2. 对数函数的图像和性质图像性质定义域值域单调性特征恒过点（1，0） （，1）与同范围为正，异范围为负越大越靠近轴越小越靠近轴 图像在轴上方，从左到右底数逐渐增大对称性：函数 四. 反函数函数的定义域为，值域为，是一一映射，由得，我们把函数叫做函数的反函数，记作：注：反函数的定义域为，值域为；偶函数不存在反函数（不满足一一映射关系）；反函数是相互的且具有唯一性； 互为反函数的两个函数的图像关于直线对称； 互为反函数的两个函数在相应的区间上单调性一致，并一定是严格单调函数； 求反函数时一定要注意函数的定义域及开平方时“”的取舍。五. 对数函数的导数 【例题解析】 1. 对数的计算 （1） （2） （2） 2. 对数函数的图像例：作函数的图像。 3. 复合对数函数的定义域和值域 例：求函数 的定义域.4. 复合对数函数的极值和值域例：求函数的值域和在区间上的极值. 5. 复合对数函数的单调性和奇偶性（ ，单调性同增异减）例：判断函数的奇偶性，当1时求的单调区间. 6. 解对数方程（注意验根）（形如 等）例： 7. 解对数不等式例：设 0且 ，已知函数 有最大值，则不等式 0的 解集为 .8. 对数值大小的比较（1）同底数对数值的大小比较根据对数函数的单调性例：已知，则，和0的大小关系为 .（2）不同底数对数值的大小比较根据图像及性质和 例：若，则，从小到大依次为 . 例：设 、均为正数，且 ，、的大小 关系为 . 9. 反函数例：已知函数 是奇函数，当 设 的反函数是 ，则 . 10. 对数函数的综合问题（1）结合平面几何等例：已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.（2）结合不等式，极值等 例：已知函数. (1)试判断函数f(x)的单调性；(2)当时，求函数在区间 上的最大值；(3)求证：对任意的，不等式.（3）结合数列等 例：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000()x(0a1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，