《概率论与数理统计》习题及答案__选择题.pdf

151 概率论与数理统计 习题及答案 选 择 题 单项选择题 1 以A表示事件 甲种产品畅销 乙种产品滞销 则其对立事件A为 A 甲种产品滞销 乙种产品畅销 B 甲 乙两种产品均畅销 C 甲种产品滞销或乙种产品畅销 D 甲种产品滞销 解 设B 甲种产品畅销 C 乙种产品滞销 ABC ABCBC 甲种产品滞销或乙种产品畅销 选 C 2 设 A B C是三个事件 在下列各式中 不成立的是 A ABBAB B ABBA C ABABABAB D ABCA CBC 解 ABBABBABBBAB A 对 ABBAB BABBBABABA B 不对 ABABABBAABAB C对 选 B 同理 D 也对 3 若当事件 A B同时发生时 事件C必发生 则 A 1P CP AP B B 1P CP AP B C P CP AB D P CP AB 解 1ABCP CP ABP AP BP ABP AP B 选 B 4 设 P AaP Bb P ABc 则 P AB等于 A ab B cb C 1 ab D ba 解 P ABP ABP AP ABaP AP BP ABcb 152 选 B 5 设 A B是两个事件 若 0P AB 则 A A B互不相容 B AB是不可能事件 C 0P A 或 0P B D AB未必是不可能事件 解 0P ABAB 选 D 6 设事件 A B满足AB 则下列结论中肯定正确的是 A A B互不相容 B A B相容 C P ABP A P B D P ABP A 解 A B相容 A 不对 ABBAAB B 错 0ABP AB 而 P A P B不一定为 0 C 错 P ABP AP ABP A 选 D 7 设0 1 1P BP A BP A B 则 A A B互不相容 B A B互为对立 C A B不独立 D A B相互独立 解 1 1 1 1 P ABP ABP ABP ABP ABP AB P BP BP BP BP BP B 1 1 1 P ABP BP BP AP BP AB P BP B 22 P BPBP ABP BP A P BPB P ABP A P B 选 D 8 下列命题中 正确的是 A 若 0P A 则A是不可能事件 B 若 P ABP AP B 则 A B互不相容 C 若 1P ABP AB 则 1P AP B D P ABP AP B 解 P ABP AP BP AB 1P ABP ABP AP B 由 0P AA A B 错 只有当AB 时 P ABP AP B 否则不对 选 C A B A B 153 9 设 A B为两个事件 且BA 则下列各式中正确的是 A P ABP A B P ABP A C P B AP B D P BAP BP A 解 BAABAP ABP A 选 A 10 设 A B是两个事件 且 P AP A B A P AP A B B 0P B 则有 C P AP A B D 前三者都不一定成立 解 P AB P A B P B 要与 P A比较 需加条件 选 D 11 设 12 0 1 0P BP A P A 且 1212 P AABP ABP AB 则下列等式成立的是 A 1212 P AABP ABP AB B 1212 P A BA BP A BP A B C 1212 P AAP ABP AB D 1122 P BP A P B AP A P B A 解1 121212 P AABP ABP ABP A AB 12 P ABP AB 1212 0 0P A ABP A A B 12121212 P A BA BP A BP A BP A A BP A BP A B 选 B 解2 由 1212 P AABP ABP AB 得 1212 P A BA BP A BP A B P BP B 可见 1212 P A BA BP A BP A B 选 B 12 假设事件 A B满足 1P B A 则 A B是必然事件 B 1P B C 0P AB D AB 解 1 0 P AB P B AP ABP AP AP AB P A 0P AB 选 C 13 设 A B是两个事件 且 0ABP B 则下列选项必然成立的是 154 A P AP A B B P AP A B C P AP A B D P AP A B 解 A B P ABP A P A BP A P BP B 0 1ABP AP BP B 选 B 或者 AB P AP ABP B P A BP A B 14 设 12 0 P BAA 互不相容 则下列各式中不一定正确的是 A 12 0P A AB B 1212 P AABP ABP AB C 12 1P A AB D 12 1P AAB 解 1212 0P A AA A 12 12 0 P A A B P A AB P B A 对 121212 P AABP ABP ABP A AB 12 P ABP AB B 对 121212 1 P A ABP AABP AAB 12 1 1P ABP AB C 错 121212 1 1 01P AABP A ABP A AB D 对 选 C 15 设 A B C是三个相互独立的事件 且0 1P C 则在下列给定的 四对事件中不相互独立的是 A AB与C B AC与C C AB 与C D AB与C 解 1 1 P AB CP ABCP A P B P CP AP B P C 1 P AP BP A P BP CP AB P C A 对 P ACCP AC CP ACCCP ACP CP AC P CP AC P C AC 与C不独立 选 B 16 设 A B C三个事件两两独立 则 A B C相互独立的充分必要条件是 A A与BC独立 B AB与AC独立 C AB与AC独立 D AB与AC独立 155 解 A B C两两独立 若 A B C相互独立则必有 P ABCP A P B P CP A P BC A与BC独立 反之 如A与BC独立则 P ABCP A P BCP A P B P C 选 A 17 设 A B C为三个事件且 A B相互独立 则以下结论中不正确的是 A 若 1P C 则AC与BC也独立 B 若 1P C 则AC与B也独立 C 若 1P C 则AC 与A也独立 D 若CB 则A与C也独立 解 1P ABP A P BP C 概率为 1 的事件与任何事件独立 AC 与BC也独立 A 对 P ACBP AC BP ABBC P ABP BCP ABCP AC P B B 对 P AC AP ACAP ACP A P C P A P AC C 对 选 D 也可举反例 18 一种零件的加工由两道工序组成 第一道工序的废品率为 1 p 第二道 工序的废品率为 2 p 则该零件加工的成品率为 A 12 1pp B 12 1p p C 1212 1ppp p D 12 1 1 pp 解 设A 成品零件 i A 第i道工序为成品 1 2 i 11 1P Ap 22 1P Ap 1212 P AP A AP AP A 12 1 1 pp 1212 1ppp p 选 C 19 设每次试验成功的概率为 01 pp 现进行独立重复试验 则直到 第 10 次试验才取得第 4 次成功的概率为 A 446 10 1 C pp B 346 9 1 C pp C 445 9 1 C pp D 336 9 1 C pp 解 说明前 9 次取得了 3 次成功 第 10 次才取得第 4 次成功的概率为 336346 99 1 1 C pppC pp 选 B 20 设随机变量X的概率分布为 1 2 0 k P Xkbkb 则 156 A 为任意正实数 B 1b C 1 1b D 1 1b 解 111 1 11 kk kkk b P XKbbb 1 1b 选C 21 设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为 f x和 F x 则 下列各式正确的是 A 0 1f x B P Xxf x C P XxF x D P XxF x 解 F xP XxP Xx 选 D 22 下列函数可作为概率密度的是 A x f xexR B 2 1 1 f xxR x C 2 2 1 0 2 0 0 x ex f x x D 1 1 0 1 x f x x 解 A 00 222 xxx edxe dxe dx 错 B 2 11 arctan 1 1 22 dx x x 且 2 1 0 1 fxxR x 选 B 23 下列函数中 可作为某个随机变量的分布函数的是 A 2 1 1 F x x B 11 arctan 2 F xx C 1 1 0 2 0 0 x ex F x x 157 D x F xf t dt 其中 1 f t dt 解 对 A 0 1F x 但 F x不具有单调非减性且 0F A 不是 对 B arctan 22 x 0 1F x 由arctan x是单调非减的 F x是单调非减的 11 0 22 F 11 1 22 F F x具有右连续性 选 B 24 设 12 XX是随机变量 其分布函数分别为 12 FxFx 为使 12 F xaFxbFx 是某一随机变量的分布函数 在下列给定的各组数值 中应取 A 32 55 ab B 22 33 ab C 13 22 ab D 13 22 ab 解 12 0FaFbF 1Fab 只有 A 满足 选 A 25 设随机变量X的概率密度为 f x 且 fxf xF x 是X的分 布函数 则对任意实数a有 A 0 1 a Faf x dx B 0 1 2 a Faf x dx C FaF a D 2 1FaF a 解 aa a Faf x dxfduf u du a f x dxf x 0 0 1 a dxf x dxf x dx 00 11 1 22 aa f x dxf x dx 由 0 2 1f x dxf x dx 0 0 1 2 f x dxf x dx 选 B 26 设随机变量 2 1 2 XN 其分布函数和概率密度分别为 F x和 f x 158 则对任意实数x 下列结论中成立的是 A 1 F xFx B f xfx C 1 1 1 FxFx D 11 1 22 xx FF 解 2 1 2 XNf x 以1x 为对称轴对称 1 1 P XxP Xx 即 1 1 1 1 1 FxP XxFx 选 C 27 设 22 4 5 XNYN 设 1 4 PXp 2 5 P Yp 则 A 对任意实数 有 12 pp B 12 pp C 12 pp D 只对 的个别值才有 12 pp 解 1 4 4 1 1 1 4 pP X 2 5 5 1 5 11 1 5 pP YP Y 12 pp 选 A or 利用对称性 28 设 2 XN 则随着 的增大 概率 P X 的值 A 单调增大 B 单调减少 C 保持不变 D 增减不定 解 1 1 2 1 1 XPXP 不随 变 选 C 29 设随机变量X的分布函数为 xFX 则35 XY的分布函数 yFY为 A 35 yFX B 3 5 yFX C 5 3y FX D 3 5 1 yFX 解 3 5 1 35 yXPyXPyYPyFY 5 3y FX 选 C 159 30 设X的概率密度为 1 1 2 x xf 则XY2 的概率密度为 A 41 1 2 y B 2 4 1 y C 4 2 2 y D 1 2 2 y 解 2 2 2 y F y XPyXPyYPyF XY 4 2 4 1 1 2 1 22 1 22 yy y fyf XY 选 C 31 设随机变量X与Y相互独立 其概率分布分别为 2 1 2 1 11 P X 2 1 2 1 11 P Y 则下列式子正确的是 A YX B 0 YXP C 2 1 YXP D 1 YXP 解 A 显然不对 1 1 1 1 YXPYXPYXP 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 YPXPYPXP 选 C 32 设 1 1 1 0 NYNX 且X与Y相互独立 则 A 2 1 0 YXP B 2 1 1 YXP C 2 1 0 YXP D 2 1 1 YXP 解 1 1 1 0 NYNX且独立 2 1 NYX 2 1 0 1 1 YXPYXP 选 B 33 设随机变量 2 1 4 1 2 1 4 1 101 iXi 且满足1 0 21 XXP 则 21 XXP 160 A 0 B 1 4 C 1 2 D 1 解 4 1 2 1 4 1 4 1 0 4 1 01 2 1 4 1 0 4 1 0 4 1 0 4 1 01 101 i j p p 0 0 1 0 2121 XXPXXP 0 1 212121 XXPXXPXXP 1 21 XXP 0000 选 A 34 设随机变量X取非负整数值 1 nanXP n 且1 EX 则 a的值为 A 2 53 B 2 53 C 2 53 D 5 1 解 110 1 1 1 1 nnn aX n aX nn n n XaXanaanaEX 2 1 1 1a a x x a aX 2 53 013 1 22 aaaaa 但1 a 2 53 a 选 B 35 设连续型随机变量X的分布函数为 1 0 1 1 1 4 x x x xF 则X的数学期望为 X1 X2 161 解 A 2 B 0 C 4 3 D 8 3 解 10 14 5 x xx xf 3 54 111 41 44 3 dx EXxdxx xx 3 4 选 C 36 已知44 1 4 2 DXEXpnBX 则二项分布的参数为 A 6 0 4 pn B 4 0 6 pn C 3 0 8 pn D 1 0 24 pn 解 4 06 04 244 1 44 1 4 2 pq npqDX npEX 6 n 选 B 37 已知离散型随机变量X的可能值为1 0 1 321 xxx 且 89 0 1 0 DXEX 则对应于 321 xxx的概率 321 ppp为 A 5 0 1 0 4 0 321 ppp B 123 0 1 0 1 0 5ppp C 4 0 1 0 5 0 321 ppp D 123 0 4 0 5 0 5 ppp 31 2222 31 9 0 1 0 89 0 1 0 ppEXEXEXDX ppEX 1 2 3 0 4 0 1 0 5 p p p 选 A 38 设 1 1 1 2 NYNX 且YX 独立 记623 YXZ 则 Z A 1 2 N B 1 1 N C 13 2 N D 5 1 N 解 1 1 1 2 NYNX且独立 2 623 YXEEZ 949413DZDXDY 又独立正态变量的线性组合仍为正态变量 2 13 ZN 选 C 39 设6 1 2 9 2 XYENYNX 则 YXD 之值为 162 A 14 B 6 C 12 D 4 解 cov 2 YXDYDXYXD 246 cov EXEYEXYYX 62219 YXD 选 B 40 设随机变量X的方差存在 则 A 22 EXEX B 22 EXEX C 22 EXEX D 22 EXEX 解 0 22 EXEXDX 22 EXEX 选 D 41 设 321 XXX相互独立 且均服从参数为 的泊松分布 令 3 1 321 XXXY 则 2 Y的数学期望为 A 3 1 B 2 C 2 3 1 D 2 3 1 解 321 XXX 独立 P 3 321 PXXX 3 321321 XXXDXXXE 3 9 1 3 1 321321 XXXDXXXD 2222 EYEYEY 3 22 EY 选 C 42 设YX 的方差存在 且EXEYEXY 则 A DXDYXYD B DYDXYXD C X与Y独立 D X与Y不独立 解 cov 2 YXDYDXYXD DYDXEXEYEXYDYDX 2 选 B 43 若随机变量YX 满足 YXDYXD 且0 DXDY 则必有 A YX 独立 B YX 不相关 C 0 DY D 0 XYD 解 YXPYXYXDYXD 00 cov 不相关 选 B 44 设YX 的方差存在 且不等于 0 则DYDXYXD 是YX 163 A 不相关的充分条件 但不是必要条件 B 独立的必要条件 但不是充分条件 C 不相关的必要条件 但不是充分条件 D 独立的充分必要条件 解 由 cov 00D XYDXDYX YX 与Y不相关 DYDXYXD 是不相关的充要条件 A C 不对 由独立DYDXYXD 反之不成立 选 B 45 设YX 的相关系数1 XY 则 A X与Y相互独立 B X与Y必不相关 C 存在常数ba 使1 baXYP D 存在常数ba 使1 2 baXYP 解 1 XY 存在ba 使1 baXYP 选 C 46 如果存在常数 0 aba 使1 baXYP 且 DX0 那么YX 的相关系数 为 A 1 B 1 C 1 D 1 解 aDXXXabaXXYX cov cov cov 1以概率 DXaDY 2 1以概率 c ov 1 a a DXa aDX DYDX YX XY 以概率 1 以概率 1 成立 选 C 47 设二维离散型随机变量 YX的分布律为 012 00 10 050 25 100 10 2 20 20 10 则 A YX 不独立 B YX 独立 C YX 不相关 D YX 独立且相关 Y X 164 解 1 0 0 0 YXP 2 01 0 25 005 01 0 0 0 YPXP 12 03 04 0 0 0 0 0 YPXPYXP X与Y不独立 选 A 48 设X为连续型随机变量 方差存在 则对任意常数C和0 必有 A CXECXP B CXECXP C CXECXP D 2 DXCXP 解 X CX C XC PXCf x dxf x dx 1 XC f x dxE XC 选 C 49 设随机变量X的方差为25 则根据切比雪夫不等式 有 10 EXXP A 25 0 B 75 0 C 75 0 D 25 0 解 75 0 4 3 100 25 11 10 2 DX EXXP 选 C 50 设 21 XX为独立随机变量序列 且 i X服从参数为 的泊松分布 2 1 i 则 A lim 1 xx n nX P n i i n B 当n充分大时 n i i X 1 近似服从标准正态分布 C 当n充分大时 n i i X 1 近似服从 nnN 165 D 当n充分大时 1 xxXP n i i 解 由独立同分布中心极限定理 n n i i X 1 近似服从 nnN 选 C 51 设 21 XX为独立随机变量序列 且均服从参数为 的指数分布 则 A lim 2 1 xx n n X P n i i n B lim 1 xx n nX P n i i n C 1 1 lim 2 1 xx X P n i i n D lim 1 xx n nX P n i i n 解 1 i EX 2 1 i DX n XE n i 1 2 1 n XD n i 由中心极限定理 x n n X P n i n 2 1 lim x n nX P n i n 1 lim x 选 B 52 设 4321 XXXX是总体 2 N的样本 已知 2 未知 则不 是统计量的是 166 A 41 5XX B 4 1 i i X C 1 X D 4 1 2 i i X 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数 选 C 53 设总体 n XXXpBX 1 21 为来自X的样本 则 n k XP A p B p 1 C knkk n ppC 1 D knkk n ppC 1 解 n XXX 21 相互独立且均服从 1 pB 故 n i i pnBX 1 即 pnBXn 则 1 kkn k n k P XP nXkC pp n 选 C 54 设 n XXX 21 是总体 1 0 N的样本 X和S分别为样本的均值和 样本标准差 则 A 1 ntSX B 1 0 NX C 1 1 22 nSn D 1 ntXn 解 n i i X n X 1 1 0 XE 1 0 11 2 n NX n n n XD B 错 1 1 2 2 2 n Sn 1 1 1 1 222 2 nSnS n 1 ntn S X A 错 选 C 55 设 n XXX 21 是总体 2 N的样本 X是样本均值 记 2 1 S n i n i n i iii X n SXX n SXX n 111 22 3 22 2 2 1 1 1 1 1 n i i X n S 1 22 4 1 则服从自由度为1