圆的认识.doc

我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 1 of 16 知识讲解 重点模块一 弦 弧 圆心角 圆周角的关系与垂径定理 知识点 知识点 1 圆的圆的有关概念 1 圆 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 其中 定点为圆 心 定长为半径 2 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 3 圆周角 顶点在圆上 两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角 4 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 大于半圆的弧称为优弧 小于 半圆的弧称为劣弧 5 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径 2 圆的有关性质 1 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直线 圆是中心对称图形 对 称中心为圆心 2 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的弧 3 弧 弦 圆心角的关系 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦 中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角 90 圆周角所对的弦是直径 经典例题经典例题 例 1 以下命题 1 同圆中等弧对等弦 2 圆心角相等 它们所对的弧长也相等 3 三点确定 一个圆 4 平分弦的直径必垂直于这条弦 其中正确的命题的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 例 2 如图 AB 是 O 的直径 CD 是 O 的弦 AB CD 的延长线交于 E 若 AB 2DE E 18 则 C AOC 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 2 of 16 例 3 P 为 O 内一点 OP 3cm O 半径为 5cm 则经过 P 点的最长弦长为 最短弦 长为 例 4 O 的半径为 25cm 弦 AB 40cm 弦 CD 48cm AB CD 这两条平行弦 AB CD 之间 的距离为 例 5 如图 四边形 ABCD 内接于 O 若 BOD 138 则它的一个外角 DCE 等于 A 69 B 42 C 48 D 38 例 6 如图 O 的半径为 1cm 弦 AB CD 的长度分别为 则弦 AC BD 所夹的2cm1cm 锐角 C D B A 例 7 已知 如图 ABC 试用直尺和圆规画出过 A B C 三点的 O 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 3 of 16 例 8 已知 如图 在同心圆中 大圆的弦 AB 交小圆于 C D 两点 1 求证 AOC BOD 2 试确定 AC 与 BD 两线段之间的大小关系 并证明你的结论 例 9 已知 如图 ABC 内接于 O AM 平分 BAC 交 O 于点 M AD BC 于 D 求证 MAO MAD 例 10 已知 如图 A B 是半圆 O 上的两点 CD 是 O 的直径 AOD 80 B 是的 A AD 中点 1 在 CD 上求作一点 P 使得 AP PB 最短 2 若 CD 4cm 求 AP PB 的最小值 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 4 of 16 例 11 在 ABC 中 BC a AC b AB c 若方程有两个相等的实 2 20bc xaxbc 数根 1 证明 ABC 是直角三角形 2 若 ABC 的斜边 AB 上存在一点 D 使过直角顶点 C 和 D 的 O 交 BC 于 E 交 AC 于 F 且 CED AFD C E D 依次对应于 A F D 求证 ABC 是等腰 直角三角形 O F E D C BA 例 12 如图为的外接圆 且为中点 为上的一点 于 OAABC C A ABD A BCCEAD E 求证 AEBDDE EOD C BA 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 5 of 16 例 13 如图 O 中 直径 AB 15cm 有一条长为 9cm 的动弦 CD 在上滑动 点 C 与 A 点 D 与 B 不重合 CF CD 交 AB 于 F DE CD 交 AB 于 E 1 求证 AE BF 2 在动弦 CD 滑动的过程中 四边形 CDEF 的面积是否为定值 若是定值 请给出证明 并求这个定值 若不是 请说明理由 例 14 1 已知 如图 1 是 的内接正三角形 点 为弧 BC 上一动点 ABC OP 求证 PAPBPC 2 如图 2 四边形是 的内接正方形 点为弧 BC 上一动点 ABCDOP 求证 2PAPCPB 3 如图 3 六边形是 的内接正六边形 点为弧 BC 上一动点 请探ABCDEFOP 究三者之间有何数量关系 并给予证明 PAPBPC O C A B P P O D A B C O P F E D C B A 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 6 of 16 重点模块二 与圆有关的位置关系 知识点 知识点 1 如果 O 的半径为 圆心 O 到直线 l 的距离为 d 那么 r 直线 l 和 O 相交 直线 l 和 O 相切 直线 l 和 O 相离 2 切线的判定定理 3 切线的性质定理 4 切线长定理 5 心 图形 心 的确定 心 的性质 心 的位置 外心 内心 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 如果两圆的半径分别为 R r 圆心距为 d 则 相切 外切 内切 相离 外离 内含 相交 经典例题经典例题 例 15 如图 直线 AB 切 O 于点 A 点 C D 在 O 上 试探求 1 当 AD 为 O 的直径时 如图 D 与 CAB 的大小关系如何 并说明理由 2 当 AD 不为 O 的直径时 如图 D 与 CAB 的大小关系同 一样吗 为什么 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 7 of 16 变式 已知 如图 ABC 内接于 O 过 A 点作直线 DE 当 BAE C 时 试确定直线 DE 与 O 的位置关系 并证明你的结论 例 16 已知 如图 AB 是 O 的直径 BD 是 O 的弦 延长 BD 到点 C 使 DC BD 连结 AC 过点 D 作 DE AC 垂足为 E 1 求证 AB AC 2 求证 DE 为 O 的切线 3 若 O 的半径为 5 BAC 60 求 DE 的长 例 17 在 Rt ABC 中 B 90 A 的平分线交 BC 于 D E 为 AB 上一点 DE DC 以 D 为圆心 DB 的长为半径画圆 求证 1 AC 是 O 的切线 2 AB EB AC E C A B D 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 8 of 16 例 18 已知 如图 PA PB DC 分别切 O 于 A B E 点 1 若 P 40 求 COD 2 若 PA 10cm 求 PCD 的周长 例 19 已知 如图 O 是 Rt ABC 的内切圆 C 90 1 若 AC 12cm BC 9cm 求 O 的半径 r 2 若 AC b BC a AB c 求 O 的半径 r 例 20 已知 如图 O 是 Rt ABC 的外接圆 AB 为直径 ABC 30 CD 是 O 的切线 ED AB 于 F 1 判断 DCE 的形状并说明理由 2 设 O 的半径为 1 且 求证 DCE OCB 2 13 OF 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 9 of 16 例 21 已知 如图 AB 为 O 的直径 PQ 切 O 于 T AC PQ 于 C 交 O 于 D 1 求证 AT 平分 BAC 2 若求 O 的半径 3 2 TCAD 例 22 两圆的圆心坐标分别是 0 和 0 1 它们的半径分别是 3 和 5 则这两个圆3 的位置关系时 A 相交 B 外离 C 外切 D 内切 例 23 如图 P 内含于 O O的弦 AB 切 P 于点C 且OPAB 若阴影部分的面积为 9 则弦 AB 的长为 A 3B 4 C 6 D 9 例 24 已知 如图 O1与 O2外切于A 点 直线l 与 O1 O2分别切于B C 点 若 O1的 半径 r1 2cm O2的半径 r2 3cm 求 BC 的长 BAC PO 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 10 of 16 例 25 如图 ABC 内接于 O AD 是 O 直径 E 是 CB 延长线上一点 且 BAE C 1 求证 直线 AE 是 O 的切线 2 若 EB AB AE 24 求 EB 的长及 O 的半径 5 4 Ecos 例 26 如图 ABC 中 以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 D CA 是 O 的切线 AE 平分 BAC 交 BC 于点 E 交 CD 于点 F 1 求证 CE CF 2 若 sinB 求 的值 3 5 DFCF 例 27 如图 AC 为 O 的直径 AC 4 B D 分别在 AC 两侧的圆上 BAD 60 BD 与 AC 的交点为 E 1 求点 O 到 BD 的距离及 OBD 的度数 2 若 DE 2BE 求的值和 CD 的长 cosOED A B E O D C 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 11 of 16 例 28 如图 1 O 2 O 3 O 4 O为四个等圆的圆心 A B C D 为切点 请你在图中画 出一条直线 将这四个圆分成面积相等的两部分 并说明这条直线经过的两个点是 如图 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O为五个等圆的圆心 A B C D E 为切点 请 你在图中画出一条直线 将这五个圆分成面积相等的两部分 并说明这条直线经过的两 个点是 例 29 如图 在直角坐标系xOy中 点A 点B分别在x轴的正半轴上 y轴的正半轴上 以OB为直径的 C交AB于点D DE与 C相切交x轴于点E 且 12 3OAcm 30OAB 1 求点B的坐标及直线AB的解析式 2 过点B作于F 交x轴于点G 求BD的长及点F的坐标 BGEC 3 设点P 从A开始沿的方向以 4cm s的速度匀速向点G移动 点QABG 同时从点A开始沿AG匀速向点G移动 当四边形CBPQ为平行四边形时 求点Q 的移动速度 y x O E D C B A 1 o 2 o 3 o 4 o C BD A 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o A B CE D 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 12 of 16 重点模块三 与圆有关的计算问题 知识点 知识点 1 正多边形与圆 2 弧长及扇形的面积 弧长公式 扇形面积公式 3 圆锥的侧面积和全面积 圆锥侧面积计算公式 经典例题经典例题 例 30 如图所示 以六边形的每个顶点为圆心 1 为半径画圆 则图 中阴影部分的面积为 例 31 如图 Rt ABC 中 C 90 AC 8 BC 6 两等圆 A B 外切 那么图中两个扇 形 即阴影部分 的面积之和为 A B C D 4 25 8 25 16 25 32 25 例 32 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 4 BC 2 分别以 AC AB 为直径画半圆 则图 中的阴影部分面积为 结果保留 C B A 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 13 of 16 例 33 已知 如图 在边长为 a 的正 ABC 中 分别以 A B C 点为圆心 长为半径作a 2 1 求阴影部分的面积 A DE A EF A FD 例 34 已知 如图 半圆 O 的直径 AB 12cm 点 C D 是这个半圆的三等分点 求 CAD 的 度数及弦 AC AD 和围成的图形 图中阴影部分 的面积 S A CD 例 35 矩形 ABCD 的边 AB 8 AD 6 现将矩形 ABCD 放在直线 l 上且沿着 l 向右作无滑动地 翻滚 当它翻滚至类似开始的位置时 如图所示 则顶点 A 所经过的路线长 1111 AB C D 有多长 变式 如图 把直角三角形 ABC 的斜边 AB 放在直线 上 按顺时针方向在 上转动两次 使它ll 转到 A2B2C2的位置上 设 BC 1 AC 则顶点 A 运动到 A2的位置时 点 A 经过3 的路线有多长 点 A 经过的路线与直线 所围成的图形的面积有多大 l A2 A1 B2 C2 C BA 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 14 of 16 例 36 如图 等腰 Rt ABC 的直角边长为 4 以 A 为圆心 直角边 AB 为半径作弧 BC1 交斜边 AC 于点 C1 于点ABBC 11 B1 设弧 BC1 B1B 围成的阴影部分的面积为 S1 然后 11B C 以 A 为圆心 AB1为半径作弧 B1C2 交斜边 AC 于点 C2 于点 B2 设弧 B1C2 B2B1围成的阴影部ABBC 2222B C 分的面积为 S2 按此规律继续作下去 得到的阴影部分的面积 S3 例 37 如图 有一圆心角为 120 o 半径长为 6cm 的扇形 若将 OA OB 重合后围成一圆锥侧 面 那么圆锥的高是 A cm B cm C cm D cm24356232 例 38 如图 ABC 是一个圆锥的左视图 其中 AB AC 5 BC 8 则这个圆锥的侧面积是 A B C D 12 16 20 36 例 39 如图 圆锥的轴截面是边长为 6cm 的正三角形 ABC P 是母线 AC 的中点 求在圆锥的侧面上从 B 点到 P 点的最短路线的长 B A C 我们让学习更有效 400 686 5000 圆 学生版 Page 15 of 16 例 40 如图 O 的直径 AB 的两侧有定点 C 和动点 P 已知 BC 4 CA 3 点 P 在 AB 上运动 过点 C 作 CP 的垂线 与 PB 的延长线交于点 Q 1 当点 P 运动到与点 C 关于 AB